2023 年中考数学高频考点突破：抛物线之最值问题

2023中考数学高频考点突破：抛物线之最值问题 1．抛物线与直线交于原点和点， 与轴交于另一点， 顶点为． (1)填空： 点的坐标为___________， 点的坐标为___________． (2)如图1 ， 连结为轴上的动点， 当以为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点的坐标； (3)如图2， 是点关于拋物线对称轴的对称点， 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 ， 连结与直线交于点． 设和的面积分别为和， 设， 试求关于的函数解析式并求出的最值． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，OB=3OA，与y轴交于C点，对称轴是x=1，D为抛物线顶点． (1)求抛物线的表达式和点D的坐标． (2)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．Q是抛物线对称轴上一个点，是否存在以B，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？ (4)已知点C和M关于抛物线对称轴对称，点N在直线BC上运动，求的最小值 ． 3．在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y=−2x−3 与 x 轴交于 A 、 B 两点， 与 y 轴交于 C 点， D 为抛物线顶点． (1)A点坐标： ；顶点D的坐标： ； (2)如图1，抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段TA绕点T顺时针旋转90°后，点A的对应点恰好也落在此拋物线上? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上第四象限的一个动点，连接 AP、BE交于点G，设 则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？ (4)点Q是抛物线对称轴上一动点， 连接OQ、AQ，设 外接圆圆心为H， 当 的值最大时， 变直接写出点H的坐标 ． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣2，0），并且抛物线过点D（4，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为直线CB上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点． (1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点． ①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标． ②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？ (2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点作轴，垂足为I，交圆N于点M，点在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值． (3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标． 6．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点(2，﹣3)和(1，﹣)，与x轴从左至右分别交于点A，B，点M为抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）连接BM，若点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段BM于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形OCNQ的面积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值． （4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标（不需要计算过程）． 7．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点，与y轴交于点A． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，若点N在线段上运动（不与点B，C重合），过点N作，交于点M，当面积最大时，求点N的坐标； （3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且，线段是否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若M是第一象限内线段上任意一点（不与B，C重合），轴于点H，与二次函数的图象交于点P，连接．设点M的横坐标为t，当是