2023年中考数学高频考点突破：抛物线之任意三角形问题

2023中考数学高频考点突破：抛物线之任意三角形问题 1．如图，已知二次函数（其中a、m为常数，，），它的图像交x轴于点A，B（点A在B的左侧），交y轴于点，直线交二次函数图像的对称轴于点E．    (1)用含m的代数式表示a以及点A，B的坐标； (2)如图1，若二次函数图像的顶点是D，直线交于F，求m取何值时； (3)如图2，直接写出为锐角三角形时m的取值范围． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．    (1)求抛物线解析式； (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)N是抛物线对称轴上一点，当三角形为等腰三角形时，求N点的坐标． (3)点D是边上一点，连接，将线段以O为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标； (4)点M在线段上（与A，B不重合），点N在线段上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于点和． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，轴上方的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．抛物线上另有一点C在第一象限，且满足，． (1)求A，B两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴； (2)求线段BC的长； (3)探究在对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在．请说明理由． 6．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，抛物线上有一动点，点在第一象限，过点作轴的平行线分别交轴和直线于点和点． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)当点为线段的中点时，求点的坐标； (3)如图，作射线，交直线于点，当是等腰三角形时，求点的坐标． 7．如图，已知抛物线的顶点为M，直线交抛物线于点，交x轴于点B (1)求点M的坐标； (2)求直线的解析式； (3)设点是抛物线在x轴下方，顶点左方一段上的动点，连接，过以P为顶角顶点，为腰的等腰三角形的另一顶点C作x轴的垂线交直线于点D，连接，设的面积为S，求S与x之间的函数关系式； (4)在上述动点中，是否存在使的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由 8．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点且，将绕点按逆时针方向旋转，点恰好与重合． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点为线段上的任一动点，过点作，交于点，连结，求面积的最大值； (3)对称轴上是否存在一点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 9．在平面直角坐标系中中，已知抛物线L：和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，求证：为等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由； (4)若抛物线L与线段只有一个交点．请结合函数图象，直接写出m的取值范围________． 10．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 11．如图，二次函数与轴交于点，，与轴交于点． (1)求函数表达式及坐标； (2)在抛物线的对称轴上，连接、，若为以为底的等腰三角形，求点坐标． (3)在抛物线上且在第一象限内，过点作，轴，求的最大值并写出点坐标． 12．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P和点D的坐标． 13．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)过点作，