2023年中考数学高频考点突破：抛物线之等腰三角形

2023中考数学高频考点突破：抛物线之等腰三角形 1．如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)N是抛物线对称轴上一点，当三角形为等腰三角形时，求N点的坐标． (3)点D是边上一点，连接，将线段以O为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标； (4)点M在线段上（与A，B不重合），点N在线段上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，抛物线上有一动点，点在第一象限，过点作轴的平行线分别交轴和直线于点和点． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)当点为线段的中点时，求点的坐标； (3)如图，作射线，交直线于点，当是等腰三角形时，求点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为． (1)求抛物线的关系式； (2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S． ①求S与m之间的函数关系式． ②当S取得最大值时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，已知二次函数的图像交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0<t<5）．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)求t为何值时，是等腰三角形？ 5．如图1，抛物线经过， 且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接，直线l过点B、C． (1)填空： ； 直线l的函数表达式为： ． (2)已知直线平行于y轴，交抛物线及x轴于点P、G．当时（如图2），直线与线段分别相交于E、F两点，试证明线段总能组成等腰三角形． (3)在（2）的条件下，如果此等腰三角形的顶角是的2倍，请求出此时t的值． 6．如图，二次函数与轴交于点，，与轴交于点． (1)求函数表达式及坐标； (2)在抛物线的对称轴上，连接、，若为以为底的等腰三角形，求点坐标． (3)在抛物线上且在第一象限内，过点作，轴，求的最大值并写出点坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过，两点．动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，过点作交于点． (1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式； (2)过点E作于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ (3)连接，是否存在的值使为等腰三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．（参考公式：平面内两点、间的距离） 8．综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，过点P作轴交直线于点D，连接，，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式． (2)①请用含m的代数式表示的面积． ②当的面积为时，求点P的坐标． (3)如图2，在（2）②的条件下，点Q是射线上的一个动点，射线交直线于点G，当是等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 9．综合与探究． 如图1，抛物线经过，，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)求证：． (3)如图2，动点P从点B出发，沿着线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F． (1)求抛物线的解析式： (2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在