第7章 课时作业(39) 空间向量及其运算（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(三十九)　空间向量及其运算 [基础保分练] 1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 D　解析：由题意知a·(a－λb)＝0， 即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 2．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．不确定 B　解析：如图，令＝a，＝b，＝c， 则·＋·＋· ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a) ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 3．如图，在三棱锥O­ABC中，点D是棱AC的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．a＋b－c C．a－b＋c D．－a＋b－c A　解析：＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 因此，＝－＝－＋＝a－b＋c. 4．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． D　解析：∵＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－， 故||＝. 5．(多选)设几何体ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则下列结论正确的是(　　) A．·＝a2 B．·＝a2 C．·＝－a2 D．·＝a2 ACD　解析：如图，建立空间直角坐标系， 则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)， D(0，0，0)，A1(a，0，a)，B1(a，a，a)，O(，，)， ∴＝(0，a，0)，＝(－a，a，0)，＝(0，a，0)， ＝(－a，a，－a)，＝(0，－a，0)，＝(0，a，a)， ＝(－，，－)．∴·＝a2，A对； ·＝a2，B错；·＝－a2，C对； ·＝a2，D对． 6．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝______． 答案： 解析：由条件得 解得x＝，y＝－，z＝4， ∴x＋y＝－＝. 7．正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则 · 的取值范围是____________． 答案：[0，1] 解析：如图所示， 由题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]， ·＝ ·(＋ ) ＝ ·(＋λ)＝ 2＋λ · ＝1＋ λ·(－)＝1－λ∈[0，1]． 因此 · 的取值范围是[0，1]． 8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________． 答案：平行 解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b， 由题意知＝b－c， ＝－＝a－b＋c. 因此＝＋，∴，，共面． 又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离． 解：∵∠ACD＝90°，∴ ·＝0.同理 ·＝0. ∵AB与CD成60°角，∴〈， 〉＝60°或120°. 又∵＝＋＋， ∴| |2＝| |2＋| |2＋| |2＋2 ·＋2 ·＋2 ·＝3＋2×1×1×cos 〈， 〉． 当〈， 〉＝60°时，| |2＝4； 当〈， 〉＝120°时，| |2＝2. ∴| |＝2或，即B，D间的距离为2或. 10．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)? 解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 故|2a＋b|＝＝5. (2)令＝t(t∈R)， 所以＝＋＝＋t ＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)， 若⊥b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝. 因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)． [技能提分练] 11．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么(　　) A． · < · B． ·＝ · C． · > · D． · 与· 的大小不能比较 C　解析：取BD的中点F，连接EF， 则EF∥CD且EF＝ CD. 因为AE⊥BC，〈， 〉＝〈， 〉>90°， 所以 ·＝0， · <0，因此 · > ·. 12．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条