第3章 课时作业(17) 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(十七)　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 [基础保分练] 1．(2021·全国甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性． (2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围． 解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2a2x＋a－＝(a>0)． 令f′(x)＝0，则2a2x2＋ax－3＝0， 即(ax－1)(2ax＋3)＝0. 又a>0，x>0，∴ax－1＝0，∴x＝. 当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)在(0，)上单调递减； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． 若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，则f(x)min>0， 故f(x)min＝f()＝a2×()2＋a×－3ln ＋1>0， ∴3ln a>－3，∴ln a>－1.∴a>e－1＝. ∴a的取值范围是(，＋∞)． 2．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f′(x)＝ex－1－2ax. 由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立， 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x. 当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0，符合题意． 当a＞时，由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)， 从而f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)， 故当x∈(0，ln 2a)时，f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln 2a)时，f(x)<0，不符合题意． 综上可得a的取值范围为(. 3．已知函数f(x)＝ln x－a(1－)＋1(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． (1)因为f(x)＝ln x－a(1－)＋1， 所以f′(x)＝－＝. 当a≤0时，f′(x)>0对∀x∈(0，＋∞)恒成立； 当a＞0时，由f′(x)>0得x＞a，由f′(x)<0得0＜x＜a. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． (2)由f(x)＞0得ln x－a(1－)＋1＞0， 所以＜ln x＋1， 即a＜对x∈(1，＋∞)恒成立． 令g(x)＝， 则g′(x)＝＝， 令h(x)＝x－ln x－2，则h′(x)＝1－＝， 因为x＞1，所以h′(x)＞0， 所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增， 因为h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－ln 4＞0， 所以存在x0∈(3，4)满足x0－ln x0－2＝0. 当1＜x＜x0时，h(x)＜0，g′(x)＜0； 当x＞x0时，h(x)＞0，g′(x)＞0. 所以g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(x0)＝＝x0，所以a＜x0， 因为3<x0<4，a∈Z，所以a的最大值为3. [技能提分练] 4．已知函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝x2＋x(a≤0且a为常数)． (1)当a＝0时，求函数f(x)的最小值； (2)若存在x∈(1，2]使得f(x)≥g(x)－2a－2成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝xln x(x＞0)，则f′(x)＝ln x＋1， 令f′(x)＜0可得0＜x＜；令f′(x)＞0可得x＞. ∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f()＝－. (2)令F(x)＝f(x)－g(x)＋2a＋2 ＝(x＋a)ln x－x2－x＋2a＋2， 则题目等价于F(x)≥0在x∈(1，2]上有解， F′(x)＝ln x－ax＋， 令h(x)＝ln x－ax＋， 则h′(x)＝－a－＝， 当a＝0时，F′(x)＝ln x＞0，则F(x)在(1，2]上单调递增， 此时F(x)max＝F(2)＝2ln 2＞0，满足题意， 当a＜0时，h′(x)＞0在(1，2]上恒成立， 即F′(x)在(1，2]上单调递增， 则F′(x)＞F′(1)＝0， 故F(x)在(1，2]上单调递增， 则F(