第3章 课时作业(16) 利用导数证明不等式（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(十六)　利用导数证明不等式 [基础保分练] 1．已知函数f(x)＝aln x－x2(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a＝1，证明：f(x)＞－－x2. (1)解：由题易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－2x＝. 当a≤0时，f′(x)<0恒成立， 因此f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，令f′(x)>0，得0＜x＜ ； 令f′(x)＜0，得x＞ . 故f(x)在(0, )上单调递增， 在( ，＋∞)上单调递减． 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，f(x)在(0, )上单调递增， 在( ，＋∞)上单调递减． (2)证明：当a＝1时，f(x)＝ln x－x2， 不等式f(x)＞－－x2，即ln x＋＞， 令g(x)＝ln x＋， 则g′(x)＝－＝， 令g′(x)＝0，得x＝1. 所以当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以g(x)≥g(1)＝1. 又当x>0时，＜1， 所以ln x＋＞，故原不等式得证． 2．已知函数f(x)＝aln x＋x＋＋2a(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若0＜a＜，求证：f(x)＜x＋. (1)解：函数f(x)＝aln x＋x＋＋2a的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋1－＝. 对于方程x2＋ax－2＝0，Δ＝a2＋8＞0. 解方程x2＋ax－2＝0， 可得x1＝＜0，x2＝＞0. 当0＜x＜时，f′(x)＜0； 当x＞时，f′(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)， 单调递增区间为(，＋∞)． (2)证明：要证明f(x)＜x＋， 即证x＋aln x＋＋2a＜x＋， 即证a(ln x＋2)＜，即证＜. 令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝. 当0＜x＜2时，g′(x)＜0， 此时函数g(x)单调递减； 当x＞2时，g′(x)＞0，此时函数g(x)单调递增． 所以g(x)min＝g(2)＝. 构造函数h(x)＝， 其中0＜a＜，x＞0， 则h′(x)＝－. 当0＜x＜时，h′(x)＞0，此时，函数h(x)单调递增； 当x＞时，h′(x)＜0，此时，函数h(x)单调递减． 所以h(x)max＝h()＝ae＜， 则h(x)max＜g(x)min，所以＜. 故原不等式得证． 3．已知函数f(x)＝x－2aln x－(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若x1，x2为函数f(x)的两个极值点，证明：＞2－4a. (1)解：f′(x)＝，x＞0， 令x2－2ax＋1＝0，Δ＝4a2－4， 当Δ≤0，即－1≤a≤1时，f′(x)≥0， f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当Δ＞0，即a＞1或a＜－1时， ①当a＜－1时，－2ax＞0，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a＞1时，令f′(x)＝0，得x1＝a－，x2＝a＋， x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，f(x)在(0，a－)，(a＋，＋∞)上单调递增，在(a－，a＋)上单调递减． (2)证明：由(1)知a＞1时f(x)有两个极值点x1，x2， 且x1＋x2＝2a，x1x2＝1，不妨设x2＞1＞x1＞0， 则＝ ＝＝2－. 要证＞2－4a，即证＜2， 即＜2，∴ln x2－x2＋＜0， 设g(t)＝ln t－t＋(t＞1)， 由(1)知当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， g(t)＝－f(t)，则g(t)在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(t)＜g(1)＝0.原式得证． [技能提分练] 4．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2＋(ln x)2.证明： (1)两函数图象有且只有一个公共点； (2)－＞ln(n＋1)(n∈N*)． 证明：(1)令h(x)＝x＋－(ln x)2－2， 则h′(x)＝1－－2ln x·＝. 令φ(x)＝x－－2ln x， 则φ′(x)＝1＋－＝＝≥0. ∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，注意到φ(1)＝0， ∴当0＜x＜1时，φ(x)＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x＞1时，φ(x)＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增； ∴h(x)≥h(1)＝0，当且仅当x＝1时等号成立， ∴两函数图象有且只有一个公共点． (2)由(1)知x＋－(ln x)2－2≥0对任意的x＞0恒成立， ∴(ln x)2≤(－)2， 当x＞1时，ln x＜－，取x＝，k＝1，2，…，n，k∈N*