2023年中考数学二轮复习解答题专题四十一：图形形状变化引起的类比探究综合题

2023学年二轮复习解答题专题四十一：图形形状变化引起的类比探究综合题 方法点睛 解决图形形状变化引起的类比探究题的一般思路 1．形状变化的一般形式 (1)等边三角形或等腰直角三角形 等腰三角形 一般三角形； (2)等腰直角三角形 直角三角形 一般三角形； (3)正方形 矩形或菱形． 2．解题方法 先探究特殊图形情况下的相关结论，再推广到一般图形，将用图形之间相通或不变的性质，结合相同的思路去解决问题．关键是对试题中的变量过程进行分析，把握原有图形的特点，探究变化量的特点，常用类比思想逐步解题．一般情况下，每问采取的方法步骤基本相同，这类题目往往是数形结合思想、转化、从一般到特殊、类比思想和方程思想的综合运用，要将各种情形逐一分析，避免出错．可概括为“方法类似，思路顺延；类比渗透，知识迁移”． 典例分析 例 （2022烟台中考）（12分）【问题呈现】 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． 【拓展提升】 如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． （1）求的值； （2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【分析】【问题呈现】证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； 【类比探究】证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； 【拓展提升】（1）先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； （2）在（1）的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【解答】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； 【类比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴＝＝； 【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ∴＝＝； （2）由（1）得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC＝＝． 【点评】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 专题过关 1. （2022黔东南中考） 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． （1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． （2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 【答案】（1）钝角三角形；证明见详解 （2）①直角三角形；证明见详解；②S四边形ABCD= 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可； （2）①以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形， ∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°， ∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC， ∴∠EBA=∠DBC， △EBA和△DBC中， ， ∴△EBA≌△DBC（SAS）， ∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°， ∴△ADC为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形． 【小问2详解】 证明：①以、、为边的三角形是直角三角形． 连结CG， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴∠EBG=∠AB