2023年中考数学二轮复习解答题专题四十五：与知识迁移有关的类比探究综合题

2023学年二轮复习解答题专题四十五：与知识迁移有关的类比探究综合题 典例分析 例 （2022绥化中考）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题． （1）如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：． （2）如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长． （3）如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用等面积法，根据等腰中，，即可得到结论； （2）根据题中条件，利用折叠性质得到，结合矩形中得到，从而有，从而确定是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论； （3）延长交于，连接，过点作于，根据，，，得到是等腰三角形，从而由（1）知，在中，，在中，，，联立方程求解得，从而得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G， 由得， ； 【小问2详解】 解：连接，过点作于，如图所示： 根据折叠可知， 在矩形中，，则， ，即等腰三角形， 在等腰中，，边上有一点G，过点G作于M，于N，过点作于，由（1）可得， 在中，，，则， 在四边形中，，则四边形为矩形， ，即； 【小问3详解】 解：延长交于，连接，过点作于， 在四边形中，E为线段上的一点，，，则， 又， ， ，即是等腰三角形， 由（1）可得， 设， ，，， 在中，， 在中，，， ，解得， ，即． 【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键． 专题过关 1.（2022嘉兴中考） 小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”． （1）你赞同他的作法吗？请说明理由． （2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造DPE，使得DPE∽CPB． ①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数． ②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由． 【答案】（1）赞同，理由见解析， （2）①，②点N是线段ME的“趣点”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 再利用 从而可得结论； （2）①由题意可得： 再求解 证明 从而可得答案；②先证明可得 再证明 从而可得结论． 【小问1详解】 证明：赞同，理由如下： 等腰直角三角形ABC， ∴点P为线段AB的“趣点”． 【小问2详解】 ①由题意可得： DPE∽CPB，D，A重合， ②点N是线段ME的“趣点”，理由如下： 当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD）， 而 同理可得： 点N是线段ME的“趣点”． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，理解新定义的含义，掌握特殊的几何图形的性质是解本题的关键． 2.（2022威海中考） 回顾：用数学的思维思考 （1）如图1，△ABC中，AB＝AC． ①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE． ②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （从①②两题中选择一题加以证明） （2）猜想：用数学的眼光观察 经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题： 如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明． （3）探究：用数学的语言表达 如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A