2023年中考数学二轮复习解答题专题四十四：图形平移引起的综合探究

2023学年二轮复习解答题专题四十四： 图形平移引起的综合探究 典例分析 例. （2022河北中考） 如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，． （1）求证：△PQM≌△CHD； （2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 【答案】（1）见详解 （2）①； ②； ③ 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据算出CD长度，即可证明； （2）①平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可； ②运动分两个阶段：平移阶段：；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T；设，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，发现，从而得到，度数，求出旋转角，最后用旋转角角度计算所用时间即可； ③分两种情况：当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，证明，结合勾股定理，可得，即可得CF与d的关系． 【小问1详解】 ∵， ∴ 则在四边形中 故四边形为矩形 ， 在中， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 ①过点Q作于S 由（1）得： 在中， ∴ 平移扫过面积： 旋转扫过面积： 故边PQ扫过的面积： ②运动分两个阶段：平移和旋转 平移阶段： 旋转阶段： 由线段长度得： 取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T 设，则 在中： 设，则，， ，， ∵DM为直径 ∴ 在中 ： 在中： 在中： ∴， PQ转过的角度： s 总时间： ③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d， 当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图： ∵∠EDF=30°，∠C=30°， ∴∠EDF=∠C， 又∵∠DEF=∠CED， ∴， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ 当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d， 同理：可得 综上所述：． 【点睛】本题考查动点问题，涉及到平移，旋转，矩形，解直角三角形，圆的性质，相似三角形的判定和性质；注意第（2）问第②小题以PM为直径作圆算出是难点，第（2）问第③小题用到相似三角形的判定和性质． 专题过关 1. （2022山西侯马二模）综合与实践 问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，连接AC，AC⊥BC，过点C作CE⊥AB于点E，且CE＝CD． （1）求证：AD＝AE． 操作探究： 如图2，将△ACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A，C，D的对应点分别为点，，，且点与点E重合． （2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出△ACD平移的距离． （3）若将△ACD继续沿直线AB方向向右平移，当点恰好落在BC边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。 拓展创新： 如图3，在（2）的条件下，将绕点E按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边AB，BC交于点N，M． （4）当时，请直接写出BN的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①四边形是菱形，理由见解析，②；（3）；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△ACE，即可得到结论； （2）①根据平移的性质和菱形的判定即可求解； ②先证明△ACE∽△ABC，由相似三角形的性质得到，再由勾股定理求出AC得长度，即可求解； （3）根据平移作图进行作图即可；由平移的性质证明，进行计算即可； （4）先证明，再通过三角形的面积求出CE的长，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵AD⊥CD，CE⊥AB， ∴∠ADC＝∠AEC＝90°． 又∵CD＝CE，AC＝AC， ∴Rt△ACD≌Rt△ACE． ∴AD＝AE． （2）①四边形是菱形． 理由：由平移的性质，得，． ∴四边形是平行四边形． 由（1），得AD＝AE． ∴四边形是菱形． ②∵∠AEC＝∠ACB＝90°，∠CAE＝∠BAC， ∴△ACE∽△ABC． ∴， 在Rt△ABC