2023年中考数学二轮复习解答题专题四十七：与基本作图有关的类比探究综合题

2023学年二轮复习解答题专题四十七：与基本作图有关的类比探究综合题 典例分析 23. （2021河南中考）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1，分别在射线OA，OB上截取，点C，E不重合；分别作线段CE，DF的垂直平分线，，交点为P，垂足分别为点G，H；作射线OP，射线即为的平分线． 简述理由如下： 由作图知，，，，所以≌，则，即射线OP是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，分别在射线OA，OB上截取，点C，E不重合；连接DE，CF，交点为P；作射线射线OP即为的平分线． 任务： 小明得出≌的依据是______ 填序号． 小军作图得到的射线0P是的平分线吗？请判断并说明理由． 如图3，已知，点E，F分别在射线OA，OB上，且点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且，连接DE，CF，交点为P，当时，直接写出线段OC的长． 【答案】 【分析】由作图得，，，，可知≌的依据HL； 由作图得，，，再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明≌、≌、≌，从而得到，所以OP是的平分线； 连接OP，由已知条件可证明，从而得，再过点P作OA的垂线构造含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系求出OC的长． 【解析】解：如图1，由作图得，，，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF， ， ， ， ，， ， ， ， ， ≌， 故答案为：． 射线OP是的平分线，理由如下： 如图2，，，， ≌， ， ，， ≌， ， ，，， ≌， ，即， 是的平分线． 如图3，，连接OP，作，则， 由得，OP平分，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 设，则， 由，得，解得， ， ， ； 如图4，，连接OP，作，则， 同理可得，，，，， ， ， ， ． 综上所述，OC的长为2或． 【点睛】此题重点考查角平分线的作法、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形、二次根式的化简等知识与方法，根据三角形全等的判定定理证明三角形全等是解题的关键，解第题需作辅助线构造含特殊角的直角三角形，且需要分类讨论，求出所有符合条件的值． 专题过关 1.（2022南阳宛城一模） 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段AB的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务： 任务： （1）小明的作图依据是___． （2）判断小军作图得到的直线CP是否线段AB的垂直平分线？并说明理由； （3）如图③，已知△ABC中，，，点D、E分别是射线CA、CB上的动点，且，连接BD、AE，交点为P，当，时，直接写出线段CD的长． 【答案】（1）等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合 （2）直线CP是线段AB的垂直平分线；理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合，即可求解； （2）根据题意可得，，可证得，从而得到，进而得到，继而得到，即可求证； （3）分两种情况讨论：P位于AB的上方时，点P位于AB的下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得∶ 由作法的第（1）步得：AC=BC， ∴三角形ABC是等腰三角形， 由第（2）步得：CP平分∠ACB， ∴CP是AB的垂直平分线（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合） 【小问2详解】 解：是． 理由如下： 由作图可知，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线CP是线段AB的垂直平分线； 【小问3详解】 解：由（2）得：， ∴∠PAB=∠PBA=45°， ∴∠APB=90°， ∴，∠APD=∠BPE=90°， ∵， ∴， 如图，过点P作PG⊥AB于点G， 若P位于AB的上方时， ∴∠PAG=∠APG=45°， ∵∠ACB=30°，AC=BC， ∴∠CAB=∠ABC=75°， ∴∠CBD=∠CAE=30°， ∴∠CAE=∠ACB， ∴AE=CE， 在Rt△BPE中，∠CBD=30°， ∴BE=2PE， ∵， ∴PE=1， ∴， ∵， ∴； 点P位于AB的下方时， 同理，∠APD=∠BPE=90°， ∵∠CAE=∠CAB+∠BAP=120°， ∴∠E=∠ACB=30°， ∴AE=AC， ∴， ∴PE=3， ∴， ∵CD=CE， ∴， ∴CD=AD+AC； 综上所述，线段CD的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 2. （2022焦作一模）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务