2023年中考数学二轮复习解答题专题四十六：与运动有关的类比探究综合题

2023学年二轮复习解答题专题四十六：与运动问题有关的类比探究综合题 典例分析 例. （2022金华中考） 如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形． （1）如图1，点G在上．求证：． （2）若，当过中点时，求的长． （3）已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？ 【答案】（1）见解析 （2）或5 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案； （2）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况进行求解即可； （3）过点A作于点M，作于点N．分点E在线段上时，点E在线段上时，点E在线段上，点E在线段上，共四钟情况分别求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵FGBC， ∴， ∴， ∴△AFG是等腰三角形， ∴． 【小问2详解】 解：记中点为点O． ①当点E在上时，如图2，过点A作于点M， ∵中，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点E在上时，如图3， 过点A作于点N． 同理，， ， ∴． ∴或5． 【小问3详解】 解：过点A作于点M，作于点N． ①当点E在线段上时，．设，则， ⅰ）若点H在点C的左侧，，即，如图4， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． ⅱ）若点H在点C的右侧，，即，如图5， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 此方程无解． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． ②当点E在线段上时，，如图6，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 此方程无解． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∵， ∴不合题意，舍去； ③当点E在线段上时，，如图7，过点C作于点J， 在中，． ， ∴， ∴， ∵， ∴，符合题意， 此时，． ④当点E在线段上时，， ∵， ∴与不相似． 综上所述，s满足的条件为：或或或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键． 专题过关 1. （2022长春中考） 如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． （1）点D到边的距离为__________； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）连结，当线段最短时，求的面积； （4）当M、、C三点共线时，直接写出t的值． 【答案】（1）3 （2）当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解； （2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解； （3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解； （4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接DM， ∵AB=4，，点M为边的中点， ∴AM=BM=2，DM⊥AB， ∴， 即点D到边的距离为3； 故答案为：3 【小问2详解】 解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上， ； 当1＜t≤2时，点P在BD边上，； 综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； 【小问3详解】 解：如图，过点P作PE⊥DM于点E， ∵作点A关于直线的对称点， ∴A′M=AM=2， ∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆， ∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上， ∴， 根据题意得：，， 由（1）得：DM⊥AB， ∵PE⊥DM， ∴PE∥AB， ∴△PDE∽△ADM， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图， 当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上， 连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM， ∵AB为直径， ∴∠A =90°，即A A′⊥A′B， ∴PM∥A′B， ∴∠PMF=∠AB A′， 过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N， 在中，AB∥DC， ∵DM⊥AB， ∴DM∥CN， ∴四