2023年中考数学二轮复习解答题专题四十：图形旋转引起的类比探究综合题

2023学年二轮复习解答题专题四十： 图形旋转引起的类比探究综合题 方法点睛 解决图形旋转引起的类比探究题的一般思路： 对于图形旋转型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形旋转的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系，善于动中取静，与特殊图形（特殊位置、特殊图形）探索结论，有一般情形验证结论，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想来解决问题. 典例分析 例1： （2022沈阳中考） （1）如图，和是等腰直角三角形，，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为______； （2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由． （3）如图，若，点C是线段AB外一动点，，连接BC， ①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值______； ②若以BC为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接AD，当时，直接写出AD的值． 【答案】（1）AD=BC；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）①，②． 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可证，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后可证，进而问题可求证； （3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得，则当A、C、D三点共线时取最大，进而问题可求解；②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，然后可得点C、D、B、E四点共圆，则有，设，则，进而根据勾股定理可进行方程求解． 【详解】解：（1）AD=BC，理由如下： ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴（SAS）， ∴AD=BC， 故答案为AD=BC； （2）结论仍成立，理由如下： ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∴（SAS）， ∴AD=BC； （3）①如图， 由题意得：， 根据三角不等关系可知：， ∴当A、C、D三点共线时取最大， ∴， ∵，， ∴， ∴AD的最大值为； ②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，如图所示： ∴， ∴点C、D、B、E四点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴在Rt△AEC和Rt△BEC中，由勾股定理得：，整理得：①； 在Rt△BFD中，由勾股定理得：，整理得：②， 联立①②得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 过点E作EM⊥AD于点M， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 专题过关 1. （2022广元中考）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD． （1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　 　； （2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时 ①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数； ②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）135° （2）（2）①补全图形见解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，利用圆内接四边形的性质即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解； ②过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，证明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论． 小问1详解】 解：由题意得：CA=CD=CB， ∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图， 在优弧上取点G，连接AG，BG， ∵Rt△ABC中，∠BCA=90°， ∴∠BGA=45°， ∵四边形ADBG是圆内接四边形， ∴∠ADB=180°-45°=135°， 故答案为：135°； 【小问2详解】 ①补全图形，如图： 由题意得：CA=CD=CB， ∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图， ∵Rt△ABC中，∠BCA=90°， ∴∠ADB=45°； ②2BE-AD=CE．理由如下： 过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图： ∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线， ∴CE是线段BD的垂直平分线， ∴BE=DE，∠EFD=90°， 由①知∠ADB=45°， ∴∠DEF=45°， ∴△CEH是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH