湖南省长沙市长郡湘府中学2022-2023学年高二下学期数学竞赛试题

长郡湘府中学2023年高二第二学期数学竞赛试题 （时量：120分钟，满分：150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.设实数a＞0，则“2a＞2”是“loga＞0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B.[－6，－4] C.[－3，－2] D.[－4，－3] 3. 4sin 40°－tan 40°的值为(　　) A. B. C. D.2－1 4.如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么实数a的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(1，2) C.(1，＋∞) D. 5.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 6.已知关于x的方程＝a|x|有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.(0，1) C.(1，＋∞) D.(0，＋∞) 7.已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－ax有四个不同的零点，则a的取值范围为(　　) A. B. C.[1，e) D.[e，＋∞) 8.已知a＝e－0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则(　　) A.c＞a＞b B.b＞a＞c C.a＞b＞c D.b＞c＞a 二、多选题（每小题5分，共20分） 9.若0＜a＜1，b＞c＞1，则(　　) A.＞1 B.＞ C.ca－1＜ba－1 D.logca＜logba 10.下列式子中与cos相等的是(　　) A.cos B.sin C. D.2cos2－1 11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝1－x，则(　　) A.f(x)是周期函数 B.f(x)在(－1，1)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x＝3对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称 12.已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根 D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2 三、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________. 14.已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝， 则的值为________. 15.已知函数y＝f(x＋1)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)的图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝________. 16.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 四、解答题（共6小题，共70分） 17.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值. 18.已知函数f(x)＝4sin ωxsin－1(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω及f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)图象的对称中心. 19.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值； (2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围. 20.已知2sin α＝2sin2－1. (1)求sin αcos α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值. 21.设g(x)＝x3－ax2＋(x－a)cos x－sin x，a∈R，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 22.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上不是单调函数，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡湘府中学2023年上学期高二数学竞赛试题（教师版） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.设实数a＞0，则“2a＞2”是“loga＞