3.1.3 函数奇偶性的应用 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.3 函数奇偶性的应用 第三章 一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大． 一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性 0 x y x y O f (x) 已知函数是偶函数，是奇函数，它们的部分图像如下：根据函数的奇偶性质，补全下列图像 x y O f (x) 一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性 0 x y 如果为偶函数，则在与的单调性相反； 如果为奇函数，则在与的单调性相同. 一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性 【解析】 例1 已知函数满足分别在下列各条件下比较与： （1）是偶函数 （2）是奇函数 是偶函数 是奇函数 变式训练1 若函数是奇函数，且，则必有( ) A．f(－1)<f(－2) B．f(－1)>f(－2) C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1) 一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性 B B 变式训练2 函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，图象必过点（ ）A． （a, －f(a)) B．（- a, －f(a)) C． （a, f(－a)) D．（- a, －f(－a)) 变式训练3 设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数．若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则( ) A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0 B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0 C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0 D．f(x1)＋f(x2)>f(x3) 一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性 B 【解析】 利用减函数和奇函数的性质判断． ∵x1＋x2>0，∴x1>－x2. 又∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数， ∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0. 同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0. ∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0. ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0. 二. 求函数的函数值和函数解析式 此类问题的一般解法是： “求谁则设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内; 要利用已知区间的解析式进行代入; 利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x) 二. 求函数的函数值和函数解析式 【解析】 例1 已知且，求的值. 设 为奇函数， ) ， 即)=  二. 求函数的函数值和函数解析式 【解析】 例2 已知是偶函数，且当时，，求在时的解析式. ∵f(x)是偶函数， ∴ 变式训练2 已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　) A．4 B．2 C．1 D．0   二. 求函数的函数值和函数解析式 提示： 定义域对称； 偶函数的性质. 【答案】 D 变式训练1 已知是偶函数，且定义域为，则 二. 求函数的函数值和函数解析式 【解析】 变式训练3 已知是R上的奇函数，且当时， (1)求的解析式； (2)画出的图象，并指出的单调区间． ∵是奇函数，∴ ∵∴ ∴ ∴ 先画出y＝f(x)(x>0)的图象利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如下图所示 : 三. 函数的奇偶性的综合应用题 解决有关函数的奇偶性、单调性以及求字母取值范围的综合问题时： 一般先利用奇偶性得出区间上的单调性 再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． (需要注意的是：在转化时，自变量必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．) 三. 函数的奇偶性的综合应用题 【解析】 例 已知函数是定义域为实数集的偶函数，且在区间上是增函数，若，求实数的取值范围． 函数是实数集上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数． 当时，由, 知； 当时，由 可得知 故所求的的取值范围为 三. 函数的奇偶性的综合应用题 变式训练 函数是奇函数，当时是增函数，若，求不等式的解集. 思路分析： 由的奇偶性及函数在上的单调性，不难得出在上的单调性．再将不等式两边化为函数值的形式，利用单调性便可脱去函数记号，于是问题转化为解不等式． 【答案】 课堂小结 一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大． 二. 求函数的