3.1.2函数单调性的定义与证明 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.2 函数单调性的定义与证明 第三章 【教学目标】 掌握函数的三种表示方法和分段函数图像的画法； 通过画图像看图像，培养学生的观察能力和探索能力； 【教学重点】 函数的解析法和图像法. 【教学难点】 分段函数的理解及运用. 情景与问题 德国心理学家艾宾浩斯通过实验研究得出了记忆规律： 时间间隔x 记忆保持量y 记忆保持量y是否为时间间隔x的函数？ 思考： 该函数反应出记忆具有什么规律？你有什么启示？ 在区间 上，随着x的增大， 的值随着 . 画出下列函数的图像，并观察其变化规律： 情景与问题 （1） 从左到右图像上升还是下降？ 增大 上升 在区间 上，随着x的增大， 的值随着 . 在区间 上，随着x的增大， 的 值随着 . 画出下列函数的图像，并观察其变化规律： （2） 减小 减小 情景与问题 从上面的观察分析，能得出什么结论？ 从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性． 新课 以二次函数f（x）＝x2为例，列出x，y 的对应值表． x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … f(x)＝x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 … 新课 对比函数f（x）＝x2的图象和列出的x，y的对应值表格，你能发现什么？ 新课 图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间 (－∞，0]上，随着x的增大，相应的 f (x)反而减小； 图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间 (0，+∞)上，随着x的增大，相应的 f (x)也随着增大. 如何利用函数解析式 描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小；”“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大．”? 思考： 新课 对于二次函数 ，我们可以这样来描述“在区间（0，+∞）上，随着 x 的增大，相应的 f (x)也随着增大.”: 你能仿照这样的描述，说明函数在区间 (－∞，0]上是减函数吗？ 在区间（0，+∞）上，任取两个 ， ，得到 ， ，当 < 时,有 ，这时，就说函数 在区间（0，+∞）上是增函数． 在区间（-∞，0）上，任取两个 ， ，得到 ， ，当 < 时,有 ，这时，就说函数 在区间（-∞，0）上是减函数． 新课 一般地，设函数的定义域为，且： （1）如果对任意，当时，都有，则称在上是增函数（也称在上单调递增）. 新课 一般地，设函数的定义域为，且： （2）如果对任意，当时，都有，则称在上是减函数（也称在上单调递减）. 如果函数y＝f（x），在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 在单调区间上: 增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. 新课 典例精析 【解析】 例1 求证：函数在R上是减函数. 任取且 那么 >0 函数在上是减函数. 典例精析 【解析】 例2 求证函数在区间和上都是减函数. 任取且 那么 当时， >0 该函数在区间上是减函数; 同理：该函数在区间上也是减函数. 典例精析 【解析】 例3 判断一次函数的单调性. 任取且 那么 的符号由决定 当时，函数为增函数； 当时，函数为减函数. 证明函数单调性的一般步骤： 取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）； 作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）； 定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意说理的充分性）,必要时要讨论； 下结论：根据定义得出其单调性. 跟踪联系 例1 下图是定义在闭区间 [-5，5]上的函数 y =(x) 的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． -5 O x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 -1 -2 【解析】 单调区间： 单调增区间： 单调减区间： 跟踪联系 例2 物理学中的玻意耳定律 （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强