2023届陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学高三第十次模考理科数学试题

陕西师大附中2022-2023学年度高三年级第十次模考 数学（理科） 参考答案 一、选择题： 2、 填空题 13. 14. 15. 16. 三.解答题 17.解：(1)∵． ∴． 由于，所以，即． ∵． ∴． （2）因为 根据三角形面积公式可得 18.解：（1）因为为等边三角形，，， 为边上的高线，故， 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 在中，，所以，故， 而平面，平面，故平面 （2）分别以方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 则. 设平面的法向量，平面的法向量， 则，且， 取，， 得到平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设二面角大小为，则， 所以. 19.解：（1）将代入椭圆方程，得到，故， 故椭圆方程为…………2分 当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为，此时直线的方程为或；………8分 （2）在x轴上存在点使得恒成立，理由如下： 因为，所以，即， 整理得，即， 所以， 则，解得， 故在x轴上存在点，使得恒成立.………12分 20.（1） （每次扑出点球）． 的所有可能取值为0，1，2，3，4．∴． ． ． ． ． ∴的分布列 0 1 2 3 4 ∴． （2）若甲队恰在第4轮取得胜利，则前3轮结束时比分可能为，，，，．分别记前3轮比分为，，，，且甲队恰在第4轮取得胜利，事件分别为A，B，C，D，E． ． ． ． ． ． 故（甲队恰在第4轮取得胜利）． ∴甲队恰在第4轮取得胜利的概率为． 21.解:（1）函数的定义域为，且，令， 得，解得，（舍去）， 所以在上单调递减，在单调递增，所以，即， 由是方程的根，则，所以， 令，可知． 又因为，所以在单调递增，在单调递减． 而，，所以有且仅有唯一，使得， 所以存在，有．所以方程有且仅有两个根，， 即有且仅有两根，， 又因为单调递减，所以有两个零点设为，， 则. （2）由题意知时，， 因为， 令，得；，得， 所以在上递减，在递增，则有， 因为，所以，，…，． 令，， ，所以在区间单调递减， 所以，即， 即，所以． 22.解：(1)直线的参数方程为：.……2分 曲线：，.……3分 由得：曲线的直角坐标方程为：.……5分 (2)设两点对应的参数分别为， 将直线的参数方程代入曲线的方程得：，……6分 化简得：，.……7分 ,.……8分 成等比数列, ,,……9分 ,.故直线的斜率为.……10分 23.解：（1）若不等式有解，只需即可. 因为，………4分. 所以，解得， 所以实数的最大值.…………5分. （2）根据（1）知正实数，满足， 由柯西不等式可知，…………8分. 所以，，因为均为正实数， 所以(当且仅当时取“=”). …………10分. 陕西师大附中高三年级第十次模考 数学（理）试题 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2022-2023学年度高三年级第十次模考 数学（理科） 试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题纸上，满分分，时间分钟． 2．答卷前将答题卡上的姓名、班级、考场填写清楚，并检查条形码是否完整、信息是否准确． 3．答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 第 Ⅰ 卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合，则（ ） 2.已知复数满足：（其中为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3.“”是“直线与直线互相垂直”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 4.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（ ）