2024届高三数学一轮复习基础夯实练22：函数综合运用

基础夯实练22 函数综合运用 一、利用导数研究恒(能)成立问题 1．已知函数f(x)＝(x－2)ex. (1)求f(x)在[－1,3]上的最值； (2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2对x∈[2，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 2．(2023·镇江模拟)已知函数f(x)＝aln x－x(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，设g(x)＝x－ln x－1，若对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有f(x1)<g(x2)，求a的取值范围． 3．(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝xln x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当x≥1时，f(x)≤ax2－a，求a的取值范围． 4．已知函数f(x)＝e2x－ax(a∈R)，e为自然对数的底数． (1)求函数f(x)的极值； (2)若关于x的不等式a≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围． 二、利用导数证明不等式 1．已知函数f(x)＝ax＋xln x，且曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线4x－y＋1＝0平行． (1)求实数a的值； (2)求证：当x>0时，f(x)>4x－3. 2．(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex－x－1. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)当x≥0时，求证：f(x)＋x＋1≥x2＋cos x. 3．已知函数f(x)＝xln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立． 4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln(n＋1)． 三、利用导数研究函数的零点 1．(2023·济南质检)已知函数f(x)＝，a∈R. (1)若a＝0，求f(x)的最大值； (2)若0<a<1，求证：f(x)有且只有一个零点． 2．函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值． (1)求f(x)的单调区间； (2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 3．(2022·河南名校联盟模拟)已知f(x)＝(x－1)ex－ax3＋a(a∈R)． (1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)当a≤e时，讨论函数f(x)零点的个数． 4．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x. (1)当a＝0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围． 四、隐零点与极值点偏移问题 1．已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)． (1)当a>0时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当a＝0时，证明：f(x)<2ex－x－4 .(其中e为自然对数的底数) 2．设f(x)＝xex－mx2，m∈R. (1)设g(x)＝f(x)－2mx，当m>0时，讨论函数g(x)的单调性； (2)若函数f(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，证明：x1＋x2>2. 参考答案 一、利用导数研究恒(能)成立问题 1．解　(1)依题意f′(x)＝(x－1)ex， 令f′(x)＝0，解得x＝1， 当x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0， ∴f(x)在[－1,1)上单调递减， 在(1,3]上单调递增， 而f(1)＝－e，f(3)＝e3， f(－1)＝－， ∴f(x)在[－1,3]上的最小值为－e，最大值为e3. (2)依题意，2(x－2)ex＋2ax≥ax2在[2，＋∞)上恒成立． 当x＝2时，4a≥4a，∴a∈R； 当x>2时，原不等式化为a≤＝， 令g(x)＝， 则g′(x)＝， ∵x>2，∴g′(x)>0， ∴g(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴g(x)>g(2)＝e2，∴a≤e2， 综上，实数a的取值范围是(－∞，e2]． 2．解　(1)函数f(x)＝aln x－x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝－1＝， ①当a≤0时，f′(x)<0恒成立， ∴函数的单调递减区间为(0，＋∞); ②当a>0时，由f′(x)＝0， 解得x＝a； 当x∈(0，a)时，f′(x)>0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0， ∴函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞). 综上可得，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)． (2)由已知， 转化为f(x)max<g(x)min. 由(1)知，当a>0时，函数f(x)的单调递