第6章 章末综合提升 导数及其应用（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案（人教B版2019）

人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 知识网络 专题提能 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 专题1　导数的几何意义及其应用 [例1]　(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　) A．2e　　　　　　　 B．e C．2 D．1 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 (2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一， 且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数 的图象是(　　) 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 [解析]　(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2. (2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确． [答案]　(1)C　(2)B 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 专题2　利用导数判断函数的单调性 [例2]　设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 专题3　利用导数研究函数的极值和最值 [例3]　已知函数f(x)＝x3－3x2－2.若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 [解]　对函数f(x)求导，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值－2  极小值－6  人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 对a分四种情况讨论： ①当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；②当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；③当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；④当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 综上可得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 【跟踪训练】 3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值； (3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 解：(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)的最大值为f(0)＝2，f(x)的