6.3 利用导数解决实际问题（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案（人教B版2019）

6．3　利用导数解决实际问题 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 内　容　标　准 学　科　素　养 1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用． 2.能利用导数求出某些实际问题的最大值. 数学建模 逻辑推理 数学运算 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 知识点　导数在实际生活中的应用 1．最优化问题 生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为最优化问题． 利润最大 用料最省 效率最高 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 2．用导数解决最优化问题的基本思路 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 [自主检测] 1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高 为(　　) A．6 m　　　　　　　 B．8 m C．4 m D．2 m 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 答案：C 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 解析：y′＝x2－39x－40＝0，解得x＝40或－1(舍)，所以最佳速度为40. 答案：C 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 3．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大． 解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x) ＝－x2＋230x－6 000， S′(x)＝－2x＋230， 由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大． 答案：115 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 　长度、面积与容积的最值问题 [例1]　在高为H、底面半径为R的圆锥内作一个内接圆柱，当圆柱底面半径r为多大时，圆柱的体积最大？ 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 解决几何中的长度、面积、体积的最值问题，关键是正确引入变量，利用相关知识把相关量均用该变量表示，从而将长度、面积、体积表示为所引入变量的函数，再利用导数求解函数的最值，但因为是实际问题，要根据题目中的条件，求出定义域． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 　用料最省、成本(费用)最低问题 [例2]　如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为 200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不 能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中 间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖) . 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域； (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 1．用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 2．利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数