6.2.2 第2课时 利用导数研究函数的最值（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案（人教B版2019）

第二课时　利用导数研究函数的最值 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 内　容　标　准 学　科　素　养 1.了解函数的最值与极值的区别和联系． 2.理解函数最值的概念． 3.掌握在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值的求法. 数学抽象 逻辑推理 数学运算 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 知识点一　函数的最值 一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个 ；如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是 ，要么是_________. 极值点 区间端点a或b 极值点 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 知识点二　求函数y＝f(x)在[a，b]的最大(小)值步骤 (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点； (2)计算函数f(x)在区间使 的所有点和 的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． f′(x)＝0 f′(x)＝0 端点 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 [自主检测] 1.如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则(　　) A．函数f(x)没有最大值也没有最小值 B．函数f(x)有最大值，没有最小值 C．函数f(x)没有最大值，有最小值 D．函数f(x)有最大值，也有最小值 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 解析：由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值． 答案：C 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．无最值　　　　　　　 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 解析：f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值． 答案：A 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 3．函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为____，最大值为_____． 答案：－64　0 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 4．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈(0,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 答案：[4，＋∞) 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 求函数最值的四个步骤 第一步：求函数的定义域． 第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0. 第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表． 第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 已知函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋3. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在[－3,3]上的最值． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 解：(1)f′(x)＝6(x＋2)(x－1)，由f′(x)>0，得x<－2或x>1，由f′(x)<0得－2<x<1. 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)， 单调递减区间为(－2,1)． (2)令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1. f(－2)＝23，f(1)＝－4，f(－3)＝12，f(3)＝48， 所以f(x)的最大值为48，最小值为－4. 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 已知函数的最值求参数 [例2]　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值． 人教B版数学·选择性必修第三册 返回导航 下页 上页 [解]　依题意，显然a≠0. 因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]， 所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x [－1,0) 0