4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教B版2019）

第2课时　离散型随机变量的方差 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 课标要求 学科素养 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3.掌握方差的性质以及两点分布方差的求法，会利用公式求它们的方差. 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学运算 数据分析 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 创新拓展 素养培优 课时作业 巩固提升 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 2.意义：随机变量的方差和标准差都刻画了随机变量取值偏离于 的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度 ． 3.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X服从两点分布，则D(X)＝ ； (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝ ． 均值 越小 p(1－p) np(1－p) 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 知识点二　离散型随机变量方差的性质 1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ ． 2.D(X)＝E－2. a2D(X) 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 解析：依题意ξ服从两点分布，则D(ξ)＝m(1－m)． 答案：D 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 答案：6 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 3．已知随机变量ξ的分布列如表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为________. ξ 0 1 2 P y 0.4 x 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 解析：由题意知y＝0.6－x， 因为E(ξ)＝0.4＋2x， 所以E(ξ2)＝0.4＋4x，D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2 ＝0.4＋4x－(0.4＋2x)2 ＝－4x2＋2.4x＋0.24， 当x＝0.3时，D(ξ)max＝0.6. 答案：0.6 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 4．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 η 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平． 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 解：甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为 E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3； D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为 E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)>D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定． 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 分析：直接利用离散型随机变量的均值和方差公式求解． 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值． (2)求X取各个值的概率，写出分布列． (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)． (4)根据公式计算方差. 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 分析：(1)利用方差公式求解，首先求出均值E(η)，然后利用D(η)定义求方差； (2)由于E(η)是一个常数，所以D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)． 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 人教B版数学·选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 将本例的分布列