4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差及标准差核心知识点，基于均值概念延伸，系统梳理方差定义、性质（如Y=aX+b的方差公式）及两点分布、二项分布的方差计算，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过基础训练巩固概念，分题型（方差计算、常见分布、实际应用）引导深化。结合“数学思维”（推理运算）与“数学语言”（数据描述现实），如甲乙射手技术比较实例，培养数据观念与模型意识。课中助力分层教学，课后训练及思维建模帮助学生查漏补缺、巩固提升。

第2课时　离散型随机变量的方差[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念与意义. 2.掌握方差的性质,能计算离散型随机变量的方差,并能解决一些简单的实际问题. 3.会求两点分布、二项分布、超几何分布的方差及标准差. 1.方差 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 因为X的均值为E(X),所以D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn=-E(X)]2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小),这称为离散型随机变量X的方差.离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示. 2.标准差 一般地,称为离散型随机变量X的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). 3.几种常见分布的方差 (1)两点分布的方差:D(X)=p(1-p); (2)二项分布的方差:D(X)=np(1-p). 4.离散型随机变量方差的性质 若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)=a2D(X). 基础落实训练 1.若随机变量X的分布列如表,则X的方差D(X)是 (　　) X -1 0 1 P A.0　　　　B.1　　　　C.　　　　D. 解析:选D　由题意,得E(X)=-1×+0×+1×=0,所以D(X)=×(-1-0)2+×(0-0)2+×(1-0)2=. 2.若随机变量X满足D(X)=0.8,则D(2X-3)= (　　) A.0.8　　　　B.1.6　　　　C.3.2　　　　D.0.2 解析:选C　因为D(X)=0.8,所以D(2X-3)=22×D(X)=4×0.8=3.2. 3.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量ξ1,ξ2,已知E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2),则自动包装机　　　　的包装质量较好.  解析:均值仅体现了随机变量取值的平均水平,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值较集中.由题意,可得乙的包装质量较好. 答案:乙 题型(一)　随机变量的方差与标准差 [例1]　已知X的分布列如下: X -1 0 1 P a (1)求X2的分布列; (2)计算X的方差; (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. 解:(1)由分布列的性质,知++a=1,故a=,从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)法一　由(1)知a=,∴X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-. 故X的方差D(X)=×+×+×=. 法二　由(1)知a=,∴X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-, X2的均值E(X2)=0×+1×=, ∴X的方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2=. (3)∵Y=4X+3, ∴E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11. 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量X方差的步骤 (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值; (2)求X取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,由均值的定义求出E(X); (4)根据公式计算方差. 　　[针对训练] 1.已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差及标准差; (2)设Y=2η-E(η),求D(Y). 解:(1)∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16, ∴D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2×=384,∴=8. (2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536. 题型(二)　两点分布与二项分布的方差 [例2]　某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品数的方差; (2)从中有放回地随机抽取10件产品,计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差. 解:(1)用ξ表示抽得的正品数,则ξ=0,1. ξ服从两点分布,且P(ξ=0)=0.02, P(ξ=1)=0.98, 所以D(ξ)=p(1-p)=0.98×(1-0.98)=0.019 6. (2)用X表示抽得的正品数,则X~B(10,0.98), 所以D(X)=10×0.98×0.02=0.196, 标准差为≈0.44. 　　|思|维|建|模| 两点分布与二项分布方差的计算步骤 (1)判断:判断随机变量服从什么分布. (2)计算:直接代入相应的公式求解方差. 　　[针对训练] 2.某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为　　　　.  解析:依题意知,X服从两点分布,所以D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16. 答案:0.16 3.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望E(ξ)为3,标准差为. (1)求n和p的值,并写出ξ的分布列; (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率. 解:由题意知,ξ服从二项分布,即ξ~B(n,p), P(ξ=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n. (1)由E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)=,得1-p=,从而n=6,p=. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)记“需要补种沙柳”为事件A, 则P(A)=P(ξ≤3)=+++=, ∴需要补种沙柳的概率为. 题型(三)　离散型随机变量方差的实际应用 [例3]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ,η的分布列; (2)比较甲、乙的射击技术. 解:(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,所以甲比乙的射击技术好. 　　|思|维|建|模| 均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的方差,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值比较集中.因此,在利用均值和方差的意义去分析解决问题时,两者都要分析. 　　[针对训练] 4.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如表所示. 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数和为η,求η的分布列; (2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用,求小方月薪高于小芳月薪的概率; (3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司?请说明理由. 解:(1)根据题意可知,随机变量η的可能取值有0,1,2,则P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=0.2×0.2=0.04, 所以随机变量η的分布列为 η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 (2)小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49. (3)入职甲公司,月薪的均值为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6, 方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1. 入职乙公司,月薪的均值为E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6, 方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4, 乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4, 即E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),0.4<0.49, 即两家公司月薪的均值相同,但甲公司月薪的波动性小,乙公司的月薪波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大,故选甲公司. 学科网（北京）股份有限公司 $