2.2.4 均值不等式的应用课件-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　不等式 2.2.4 均值不等式的应用 知识梳理 忆一忆知识要点 1．均值不等式 ≤ 均值不等式成立的条件： . 等号成立的条件：当且仅当 时取等号． 2．几个重要的不等式 a2＋b2 ≥ (a，b∈R)． ab ≤ 2 (a，b∈R)．   a≥0，b≥0 a＝b 2ab 大 知识梳理 忆一忆知识要点 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为： ． 4．利用均值不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，x＋y有最小值是 . (简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最 值是. (简记：和定积最大) 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 x＝y 类型1 应用均值不等式求最值 [题型·探究] 无等量关系 等量关系： 例1 已知求的最大值，以及取得最大值时的值. 当时， 由均值不等式可得： 即. 当且仅当，即时，等号成立. 当时，取得最大值 函数， 由均值不等式可得： ,即. 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立 当时，取得最小值. 无等量关系时 一：【凑项】 例2 已知，求函数的最小值. 函数, 由均值不等式可得： ,即. 当且仅当时，即时，等号成立 当时，取得最小值.   无等量关系时 二：【凑系数】 例3 设，求函数的最大值. 练一练 当时，求的最大值. 函数, 由均值不等式可得： ,即. 当且仅当时，即时，等号成立 当时，取得最小值. 练一练 2. 已知，求函数的最小值. 函数， 由均值不等式可得： ,即. 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立 当时，取得最小值. 类型2 应用均值不等式求最值 [题型·探究] 有等量关系 根据均值不等式：， 当且仅当时，等号成立. 即，的最小值为 【“1”的等价代换】 例1 已知且,求的最小值. 根据均值不等式：， 当且仅当时，等号成立. 即，的最小值为 没有“1”时，构造“1” 例2 已知且, 求的最小值. 练一练 已知且，求： （1）的最小值 （2）的最小值 根据均值不等式： 1=，得 当且仅当时，即时，等号成立. 由 得： 练一练 由 得： 根据均值不等式： 当且仅当时，即时，等号成立. 类型3 应用均值不等式解决恒成立问题 [题型·探究] 将不等式变形 不等式恒成立 检验当时，恒成立 综上所述： 例 若不等式对的所有实数恒成立，求的取值范围. 当 堂 固 双 基 达 标 求函数的最大值. 根据均值不等式： 即 ， 当且仅当时，等号成立 所以函数的最大值为. 2. 求函数的最小值. 根据均值不等式： 当且仅当，即时，等号成立 即当时，函数的最小值为. 本课结束 $