2.2.4 均值不等式课件-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　不等式 2.2.4 均值不等式 情景与问题 2002年国际数学家大会会标 A D B C E F G H b a A C E(FGH) a b 情景与问题 新 知 探 索 思考：你能给出对任意实数a,b，不等式都成立的证明吗？ 证明：（作差法） 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式： 算数平均值 几何平均值 给定两个正数： 称为的 称为的 问题： 算数平均值是两点的中点，那么几何平均值有什么几何意义？ 算数平均值与几何平均值存不存在特殊的大小关系呢？ 情景与问题 情景与问题 1.设一个矩形的长和宽分别为a和b： 求与该矩形周长相等的正方形的边长？ 求与该矩形面积相等的正方形的边长？ 1 2 4 6 8 10 1 4 6 8 10 12 1       1           情景与问题 2.填写下表 观察表中几组算数平均值与几何平均值的大小关系？ 算数平均值等于几何平均值或算数平均值大于几何平均值 新 知 探 索 猜想：两个正实数的算术平均值总是大于或等于 其几何平均值. 均值不等式 如果a,b都是正数，那么 当且仅当a=b时，等号成立. 新 知 探 索 试一试：证明均值不等式. 证明： 因为都是正数，所以 即 . 且等号成立时，当且仅当即. 新 知 探 索 思考：能否通过重要不等式证明均值不等式？ 方法一 即 方法二 且 用分别代替 有: 即: 即: 新 知 探 索 均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a,b还可以为0）. 思考：均值不等式的几何意义？ 几何意义一： 所有周长一定的矩形当中，正方形的面积最大. 将 两边平方得： 即 新 知 探 索 A B C E a b O D OD是半径，DC是半弦 几何意义二： 半径长不小于半弦长 如图，取线段,其中以为直径作，过点作垂直于是的弦,连接. 试找出图中哪条线段表示a,b的算数平均值？哪条线段表示a,b的几何平均值？它们分别有什么几何意义？ 典 例 精 析 例1 已知,求的最小值,说明为何值时取得最小值. ，根据均值不等式 当且仅当时，等号成立， 解得或（舍） 当时，取得最小值. 典 例 精 析 例2 已知,求证,并推导出等号成立的条件. ∵ab＞0，∴＞0，＞0 根据均值不等式，得： 即，当且仅当时，等号成立 ∵ab＞0，∴等号成立的条件是a=b 典 例 精 析 分析： 在（1）中，矩形的长与宽的积是常数 在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数 3.（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少 时，矩 形的面积最大？最大面积是多少？ 典 例 精 析 （1）设矩形的长为，宽为，由题意知 当且仅当时，等号成立，解得 因此，长宽都为时，周长最短，最短周长是.   （2）设矩形的长为，宽为，由题意知 当且仅当时，等号成立，解得 因此，长宽都为时，面积最大，最大面积是是.   当 堂 固 双 基 达 标 已知,求的最小值，并说明为何值时取得最小值. ，根据均值不等式 当且仅当时，等号成立，解得或（舍） 当时，取得最小值. 2. 已知,求证：并推导出等号成立的条件. ∵ab＞0，∴＞0，＞0 根据均值不等式，得 即，当且仅当时，等号成立. ∵ab＞0，∴等号成立的条件是a=b 3.（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？ （2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？ （1）设两个正数为、，由题意知 当且仅当时，等号成立，解得 因此，两个正数都为时，和最小，最小是.   （2） 两个正数都为时，积最大，最大是.   本课结束 $