11.4.1 第1课时 直线与直线所成角、直线与平面垂直及其判定（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版2019）

11．4　空间中的垂直关系 11．4.1　平面与平面垂直 第1课时　直线与直线所成角、直线与平面垂直及其判定 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 内容标准 学科素养 1.了解直线与直线所成的角，会求异面直线所成的角． 2．了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的判定定理. 数学运算 逻辑推理 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　直线与直线所成的角 异面直线所成的角α的范围是0°＜α≤90°. (1)两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的____________的角的大小． 不大于直角 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 (2)一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中____________，分别作与a，b____________的直线a′，b′，则a′，b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． (3)规定空间中两条平行直线所成角的大小为______．两条直线所成的角α也称为两条直线的夹角，范围是____________．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作______． 任意一点 平行或重合 0° 0°≤α≤90° l⊥m 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 知识点二　直线与平面垂直 (1)直线l与平面α垂直的充要条件是，直线l与平面α内的__________都垂直．符号表示为：l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m. (2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．符号表示为：m⊂α，n⊂α，____________，l⊥m，l⊥n，则l⊥α. 任意直线 两条相交 m∩n≠∅ 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [自主检测] 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　) A．一定平行　　　　　　　 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c. B 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是 (　　) A．平行 B．垂直 C．在平面α内 D．无法确定 D 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 3．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则(　　) A．a∥α B．a⊂α C．a⊥α D．a是α的斜线 C 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________． 90° 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1， 所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角． 又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC， 故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 异面直线所成的角 例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心． 求：(1)BE与CG所成的角； 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [解析]　(1)如图，因为CG∥BF. 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 (2)FO与BD所成的角． [解析]　(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形． 所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角． 连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点， 所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<18