11.3.1 平行直线与异面直线（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版2019）

11．3　空间中的平行关系 11．3.1　平行直线与异面直线 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 内容标准 学科素养 1.了解空间中两条直线的位置关系． 2．理解空间平行线的传递性，会证等角定理． 3．理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形. 直观想象 逻辑推理 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　平行直线 1．空间平行线的传递性： 文字语言 图形语言 符号语言 平行于____________的两条直线平行 若a∥b，b∥c，则_____ 同一条直线 a∥c 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 2.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两条边分别对应________，并且方向相同，那么这两个角________． 知识点二　异面直线 1．异面直线的概念 空间中既不________也不________的直线． 平行 相等 平行 相交 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 2．异面直线的画法 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托．如图所示． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [自主检测] 1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 解析：因为AB∥PQ，BC∥QR， 所以∠PQR与∠ABC相等或互补． 因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°. B 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 2．若a⊂α，b⊄α，则a与b的位置关系可能是(　　) A．平行或异面 B．相交或异面 C．平行、相交或异面 D．平行或相交 解析：b⊄α，则直线b与平面α最多一个交点，若交点在a上，则相交；若交点不在a上，则异面；若b与α无交点，则可能平行或异面． C 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 3．空间四边形ABCD的一组对边AB与CD是(　　) A．平行　　 B．相交　　　　 C．垂直　　　 D．异面 解析：空间四边形的每一组对边都是异面． D 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________． 解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交． 相交 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 空间平行线的传递性 例1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [证明]　因为E，E′分别是AB， A′B′的中点， 所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′. 所以四边形EBB′E′是平行四边形， 所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 空间两条直线平行的证明方法 (1)定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点． (2)利用基本事实寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，则这两条直线平行，若题设条件中含有中点，则常利用三角形中位线的性质证明直线平行． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E，F分别为AA′，CC′的中点，求证：四边形BFD′E是平行四边形． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 证明：如图所示，取BB′的中点G，连接GC′，GE. 因为F为CC′的中点， 所以BG∥FC′，且BG＝FC′. 所以四边形BFC′G是平行四边形． 所以BF∥GC′，BF＝GC′， 又因为EG∥A′B′，EG＝A′B′， 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′， 所以EG∥C′D′，EG＝C′D′. 所以四边形EGC′D′是平行四边形． 所以ED′∥GC′，ED′＝GC′， 所以BF∥ED′，BF＝ED′， 所以四边形BFD′E是平行四边形． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 等角定理应用 例2　如图，已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．