11.3.1 平行直线与异面直线(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦空间两条直线的位置关系，系统梳理平行直线的传递性、等角定理，异面直线的概念与画法，以及空间四边形的线面位置关系。从平面内直线平行与相交的基础出发，延伸至空间中异面直线的新关系，构建从平面到空间的知识支架。 资料以生活实例（如教室灯管、蜗杆蜗轮）创设情境，通过问题驱动探究，题型设计涵盖判定、证明及应用，强调直观想象（如异面直线画法）与逻辑推理（如空间四边形中点连线平行证明）。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与提示，帮助学生巩固知识、弥补盲点。

11.3.1　平行直线与异面直线 1.理解并掌握平行线的传递性、等角定理（直观想象）. 2.理解异面直线的概念、画法（直观想象）. 3.了解空间四边形的概念，掌握空间四边形线、面位置关系（逻辑推理）. 　　在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间中，情况就不同了.例如，下图中，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行. 【问题】　你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 知识点一　平行直线与等角定理 1.平行线的传递性 （1）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相　　　　.这一性质叫做空间平行线的传递性. （2）符号表述：⇒　　　　. 2.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应　　　，并且方向　　　　，那么这两个角　　　　. 　　提醒：对平行线的传递性与等角定理的理解：①平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法；②等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是平行线的传递性的直接应用，特别注意当这两个角的两边方向分别相同或相反时，两个角相等；当这两个角有一边方向相同，另一边方向相反时，这两个角互补. 【想一想】 　空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？ 1.若OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB＝50°，则与∠AOB的两边方向相同的∠A'O'B'等于（　　） A.130°　　　　　　　　　B.50° C.130°或50° D.不能确定 2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是　　　　. 知识点二　异面直线 1.定义：空间中既不　　　　也不　　　　的直线. 2.异面直线的画法： 【想一想】 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线，对吗？ 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）没有公共点的两条直线是异面直线.（　　） （2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（　　） 知识点三　空间四边形 顺次连接　　　　　　4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接　　　　顶点间的线段称为空间四边形的边，连接　　　　顶点间的线段称为空间四边形的对角线. 〔多选〕在空间四边形ABCD中，下列说法正确的是（　　） A.直线AB与CD异面 B.对角线AC与BD相交 C.四条边不能都相等 D.四条边的中点组成一个平行四边形 题型一｜两直线位置关系的判定 【例1】　若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是　　　　. 尝试解答 通性通法 1.判定两条直线平行或相交的方法 判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用平行线的传递性判断. 2.判定两条直线是异面直线的方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）. 【跟踪训练】 1.如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是（　　） A.6 B.4 C.5 D.8 2.已知点M是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点，则下列直线中与BM恒为异面直线的是（　　） A.A1D B.DD1 C.CD D.DC1 题型二｜直线与直线平行的证明 【例2】　已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点. （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）若∠HEF＝60°，AC＝6，BD＝8，求四边形EFGH的面积； （3）若AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形？ 尝试解答 通性通法 证明两条直线平行的两种方法 （1）利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点； （2）利用空间平行线的传递性：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据空间平行线的传递性，显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点，则常利用中点的有关性质，如三角形的中位线性质证明直线平行. 【跟踪训练】 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'，BC'的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形. 题型三｜等角定理及应用 【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E. 尝试解答 通性通法 　　关于等角定理的应用 （1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别对应平行，即先证明线线平行； （2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补. 【跟踪训练】 在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点. 求证：（1）EF􀰿E1F1； （2）∠EA1F＝∠E1CF1. 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　） A.DD1 B.AC C.AD1 D.B1C 2.〔多选〕如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（　　） 3.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝　　　　. 4.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点，求证：∠DNM＝∠D1A1C1. 提示：完成课后作业　第十一章　11.3　11.3.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3　空间中的平行关系 11.3.1　平行直线与异面直线 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.（1）平行　（2）b∥c　2.平行　相同　相等 想一想 　提示：相等或互补. 自我诊断 1.B　根据空间等角定理，知∠A'O'B'与∠AOB相等，故∠A'O'B'＝50°. 2.平行　解析：在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC.又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1. 知识点二 1.平行　相交 想一想 　提示：不对.如图，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是a∩b＝O，所以a与b不是异面直线. 自我诊断 　（1）×　（2）√ 知识点三 不共面的　相邻　不相邻 自我诊断 　AD　由定义知A正确；B错误，否则A，B，C，D四点共面；C错误，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；D正确，由平行四边形的判定定理可证. 【典例研析】 【例1】　异面或相交　 解析：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，设直线D'C'为直线b，直线A'B'为直线a，满足a∥b，与a相交的直线c可以是直线B'C'，也可以是直线BB'.显然直线B'C'与b相交，BB'与b异面，故b与c的位置关系是异面或相交. 跟踪训练 1.B　与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条. 2.C　对于A，当点M位于A1位置时，直线BM与直线A1D相交，故A错误；对于D，当点M位于C1位置时，直线BM与直线DC1相交，故D错误；对于B，当点M位于A1C1的中点时，如图， 因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，所以M也为B1D1的中点.因为BB1∥DD1，所以B，D，D1，B1四点共面，所以BM与DD1共面，故B错误；对于C，直线CD⊂平面ABCD，直线BM∩平面ABCD＝B，点B不在直线CD上，所以直线BM与直线CD为异面直线，故C正确. 【例2】　解：（1）证明：如图，在△ABD中，E，H分别为AB，AD的中点，∴EH􀰿BD，同理FG􀰿BD，∴EH􀰿FG，∴四边形EFGH是平行四边形. （2）∵BD＝8，∴EH＝4，同理由AC＝6得EF＝3，∴S▱EFGH＝EF·EH·sin∠HEF＝3×4×sin 60°＝6，∴四边形EFGH的面积为6. （3）∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形. 跟踪训练 证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， ∴EF∥AB，且EF＝（AB＋CD）， 又C'D'∥EF，EF∥AB， ∴C'D'∥AB. ∵G，H分别为AD'，BC'的中点， ∴GH∥AB，且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD）＝EF，∴GH􀰿EF， ∴四边形EFGH为平行四边形. 【例3】　证明：因为F为BB1的中点， 所以BF＝BB1， 因为G为DD1的中点， 所以D1G＝DD1. 又BB1∥DD1，BB1＝DD1， 所以BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形D1GBF为平行四边形， 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC. 所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 跟踪训练 证明：（1）如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF􀰿BD，同理E1F1􀰿B1D1， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AA1􀰿DD1，AA1􀰿BB1，所以B1B􀰿DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD􀰿B1D1，所以EF􀰿E1F1. （2）取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1􀰿B1C1，B1C1􀰿BC，所以MF1􀰿BC， 所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1M􀰿EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1均为锐角，所以∠EA1F＝∠E1CF1. 随堂检测 1.B　由正方体的性质易知当P为A1C1的中点时，P为B1D1的中点，而DD1∥BB1，所以B，D，D1，B1共面，则BP，DD1在平面BDD1B1上，故A不符合题意；因为AA1∥CC1，即A，C，C1，A1共面，易知P∈平面ACC1A1，而B∉平面ACC1A1，P∈A1C1，P∉AC，故BP与AC异面，故B符合题意；当P与C1重合时，易知AB∥D1C1，AB＝D1C1，则四边形ABC1D1是平行四边形，则此时AD1∥BP，故C不符合题意；当P与C1重合时，显然B1C，BP相交，故D不符合题意. 2.ABC　对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；对于B，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；对于C，PQ∥SR，故P，Q，R，S四点共面；对于D，因为SR∩平面PQS＝S，PQ⊂平面PQS，PQ不过S，所以SR与PQ异面，所以四点不共面. 3.135°　 解析：由等角定理可知β＝135°. 4.证明：如图，连接AC， 在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点， 所以MN是△ACD的中位线， 所以MN∥AC，MN＝AC. 由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，所以MN∥A1C1， 又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补. 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $