11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版2019）

11．1.6　祖暅原理与几何体的体积 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 内容标准 学科素养 1.了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式． 2．能够运用柱体、锥体、台体、球的体积公式求简单几何体的体积. 直观想象 数学运算 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　祖暅原理 祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 原理解读 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 原理图示 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 Sh 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 2．柱体、锥体、台体之间体积公式的关系 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [自主检测] 1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为(　　) A．27 cm3　　　　　　　 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 解析：长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)． B 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(　　) A．15π B．30 C．12π D．36π C 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 B 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 4．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 柱体的体积 例1　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 计算柱体体积的关键及常用技巧 (1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高． (2)常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高． ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 锥体的体积 例2　在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？ 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 三棱锥的任一侧面都可以作为底面来求其体积；在已知三棱锥的体积时，可用等体积法求点到平面的距离． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 2．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 球的体积 例3　过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 常见几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算． 人B数学