2.2.1第2课时 不等式的证明方法课件-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.1 第2课时 不等式的证明方法 第二章 等式与不等式 1 学习目标 1.掌握不等式5个性质与5个推论. 2.掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式. 3.熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式. 2 01 实例探究 例1 比较x2-x和x-2的大小. [解] 因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1， 又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1 ≥1＞0， 从而(x2-x)-(x-2)＞0， 因此x2-x＞x-2. 配方法 作差法 3 01 实例探究 1.作差法：其实质是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法. 2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法. 下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论. 4 02 新知探索 推论1 如果a+b>c，那么a>c-b. 证明 a+b>c⇒a+b+（-b）>c+（-b）⇒a>c-b. 推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移项法则. 推论2 如果 a>b，c>d，那么a+c>b+d. 推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 同向不等式 5 02 新知探索 推论3 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 证明 根据性质2有 a>b，c>0⇒ac>bc， c>d，b>0⇒bc>bd， 再根据性质4可知 ac>bd. 很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论： 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向. 6 02 新知探索 推论4 如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）. 推论5 如果a>b>0，那么>. 证明 假设，即 根据推论4和二次根式的性质，得ab或a=b. 这都与a＞b矛盾，因此假设不成立，从而>. 7 尝试与发现 证明推论5中不等式的方法具有什么特征？ 推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法. 02 新知探索 03 新知巩固 例 2 (1)已知a>b，c<d，求证：a-c>b-d； (2)已知a>b，ab>0，求证：＜ (3)已知a>b>0，0<c<d，求证：. 03 新知巩固 [证明] (1)因为a>b，c<d，所以a>b，-c>-d， 根据推论2，得a-c>b-d. (2)因为ab＞0，所以>0，又因为a＞b，所以 即 ，因此 . (3)因为0＜c＜d，根据(2)的结论，得 又因为 ，所以根据推论3可知 即 03 新知巩固 可以看出，例2中所使用的方法是综合法. 综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 尝试与发现 你能证明 吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？ 03 新知巩固 直接证明 并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们自行尝试.不过，为了方便起见，人们通常用下述方式来证明这个结论： 要证 ，只需证明 展开得 ，即 ，这只需证明 即21＜25.因为21＜25成立，所以 成立. 的证明过程也可简写为：因为 又因为21＜25成立，所以结论成立. 上述这种证明方法通常称为分析法. 分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件. 03 新知巩