基础夯实练21：函数中的构造问题-2024届高三数学一轮复习备考

基础夯实练21 函数中的构造问题 1．(2023·株洲模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．c<b<a 2．若2x－2y<3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0 C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0 3．(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1) 4．(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则下列说法正确的是(　　) A．f <－f <－f  B．－f <f <－f  C．－f <－f <f  D．－f <f <－f  5．(多选)(2023·开封模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且＋ln x·f′(x)>0，则(　　) A．f ＋f(e)>0 B．f <0 C．f(e)>0 D．f(1)＝0 6．若ln m－m＋2m2＝ln n－n＋2e2n2＋1，则(　　) A.>e B.<e C．m－n>e D．m－n<e 7．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则(　　) A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1) B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1) C．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1) D．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1) 8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则等于(　　) A. B．1 C. D．2 9．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是________． 10．(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值范围为________． 参考答案 1．B　2.A 3．B　[令g(x)＝f(x)－x2， 因为f(x)是偶函数， 则g(－x)＝f(－x)－(－x)2 ＝g(x)， 所以函数g(x)也是偶函数， g′(x)＝f′(x)－2x， 因为当x≥0时，f′(x)－2x>0， 所以当x≥0时， g′(x)＝f′(x)－2x>0， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2， 由f(1)＝3，得g(1)＝2， 所以g(x)>g(1)， 所以|x|>1，解得x>1或x<－1， 所以f(x)>x2＋2的解集是 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．] 4．D　[由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数， 令g(x)＝f(x)sin x， 则g(x)为偶函数， 又x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，即[f(x)sin x]′>0， 则g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则有g＝g<g <g， 即－f <f  <－f ， 即－f <f <－f .] 5．AC　[令函数g(x)＝ln x·f(x)， 则g′(x)＝＋ln x·f′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(1)＝0， 所以g(e)＝f(e)>0， g＝－f <0， 所以f ＋f(e)>0， f >0，f(1)的大小不确定．] 6．A　[由题意可知，m>0，n>0， 则ln m－m＋2m2＝ln n－n＋2e2n2＋1>ln(en)－en＋2e2n2， 构造函数f(x)＝2x2－x＋ln x，其中x>0，则f′(x)＝4x＋－1 ≥2－1＝3>0， 当且仅当x＝时，等号成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由ln m－m＋2m2>ln(en)－en＋2e2n2可得f(m)>f(en)， 所以m>en>0，则>e， 故A对，B错，无法判断C，D选项的正误．] 7．C　[由题意可知，函数f(x)在R上单调递减，f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0. 构造函数h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)在R上单调递减，所以h(2)<h(1)，所以e2f(2)<ef(1)，即ef(2)<f(1)，故A