2.1.1等式的性质与方程的解集课件-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.1.1 等式的性质与方程的解集 第二章 等式与不等式 1 用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果a=b，则对任意c，都有 ； (2)如果a=b，则对任意不为零的c，都有 . 我们已经学习过等式的性质： （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立. 01 等式的性质 尝试与发现 a+c=b+c ac=bc 02 恒等式 补全下列(1)(2)中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： (1) a2-b2= （平方差公式）； (2) (x+y)2= （两数和的平方公式）； (3)3x-6=0； (4)(a+b)c=ac+bc； (5) m(m-1)=0； (6) t3+1=(t+1)(t2-t+1). (a+b)(a-b) x2+2xy+y2 尝试与发现 3 如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式_______________对任意实数都成立，而等式_________只是存在实数使其成立.例如3x-6=0只有x=2时成立，x取其他数时都不成立. 恒等式： 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. (1)(2)(4)(6) (3)(5) 02 恒等式 恒等式是进行代数变形的依据之一 例如，因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍会成立，若用-z替换其中的y， (x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2 由此就得到了以前学过的两数差的平方公式 02 恒等式 02 恒等式 [解] (方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即 例1 化简(2x+1)2-(x-1)2. 02 恒等式 (方法二)可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即 练习：(x+a)(x+b)= . 十字相乘法 C D 02 恒等式 给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b， 使得D=ab且C=a+b，则 用十字相乘法分解因式： (1)x2+3x+2；(2)x2+2x-15. 02 恒等式 证明恒等式 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd. 并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法. 试一试： 尝试与发现 9 填空: (1)方程的解(或根)是指 . (2)一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的 . 能使方程左右两边相等的未知数的值 解集 03 方程的解集 (1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么？ (2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？ 思考 一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？ 想一想 从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab=0，则a=0或b=0. 利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集.例如，由方程(4x+1)(x-1)=0可知4x+1=0或x-1=0,从而x=- 因此方程(4x+1)(x-1)=0的解集为 03 方程的解集 03 方程的解集 例2 求方程x2-5x+6=0的解集. [解] ∵x2-5x+6=0， ∴(x-2)(x-3)=0 ， ∴x=2或x=3 ， ∴所求解集为 如果ab=0,则a=0或b=0. 说明 03 方程的解集 例3 求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数. [解] 当a≠0时，在等式ax=2的两边同时除以a，得x= . 当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解， 此时解集为∅. 综上，当a≠0时，解集为 教材P46 练习A 1 3 04 课堂巩固 1.求下列方程的解集： 2.求方程(x+1)(x-1)(x-3)(x-5) =0的解集. {2} {-2} {-8，1} {-1，1，3，5} 快乐学习 成就梦想 15 $