1.2.3 充分条件、必要条件第2课时　课件——2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

1.2.3 第2课时 充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 1 学习目标 1.掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法. 2.能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件. 3.会对某些命题的充要条件进行证明. 2 01 充分不必要条件 x＞3 x＞2 x＞3是x＞2的 条件. 想一想 充分 x＞2 x＞3 x＞3不是x＞2的 条件. 综上所述，x＞3是x＞2的 条件. 必要 充分不必要 定义：如果p⇒q且q⇏p,则称p是q充分不必要条件. ⇏ ⇒ 02 必要不充分条件 尝试与发现 仿照上述做法，给出p是q的必要不充分条件的定义，并给出具体实例加以说明. 定义：如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 例如：x(x-1)=0是x=0的必要不充分条件. 03 充要条件 定义：如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件（简称为充要条件）， 记作： p⇔q， 同理，如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件. 当然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件. 此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”. 想一想 充分必要条件怎样表述？ 03 充要条件 温馨提示 (1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若p⇔q，则p是q的充要条件． ③若p⇒q，且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． ④若p⇏q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件． (2)“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 6 充分性 必要性 04 课堂互动探究 例4 在△ABC中，判断∠B＝∠C是否是AC=AB的充要条件. 因此，在△ABC中，∠B＝∠C是AC=AB的充要条件. [解] 因为“在三角形中，等角对等边”， 所以∠B=∠C⇒AC=AB； 又因为“在三角形中，等边对等角”， 所以AC=AB⇒∠B=∠C. 所以∠B=∠C⇔AC=AB. 经典例题 7 充要条件用集合的知识来理解： 充要条件还与数学中的诸多定义有关. 阅读课本第34页. A=B 04 课堂互动探究 若A=,B=且AB，那么，也就是说，是的充要条件. 04 典例解析 题型一 充要条件的判断 【典例1】　在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. [思路导引]　判断是否p⇒q，q⇒p. 04 课堂互动探究 [解] (1)因为a+5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a+5无理数，所以p是q的充要条件. (2)因为a2+b2=0⇒a=b=0，并且a=b=0⇒a2+b2=0，所以p是q的充要条件. (3)因为AB=A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，并且∁UB⊆∁UA⇒A⊆B⇒AB=A， 所以p是q的充要条件. 04 课堂互动探究 题型二 充分必要条件的证明 【典例2】已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． [思路导引]　从充分性、必要性两方面证明． [证明]　①充分性： ∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 04 课堂互动探究 ②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 04 课堂互动探究 题型三 探求充要条件 【典例3】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [思路导引]　至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论． [解] ①当a＝0时，方程为一元一次方程， 其根为x＝－，符合要求． ②当a≠0时，方程为一元二次方程， 此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0， 即4－4a≥0，从而a≤1. 设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 04 课堂互动探究 04 课堂互动探究 (i)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⇒