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[例1] 函数y=lg(2sin x-1)+eq \r(1-2cos x)的定义域为__________.
[解析] 要使函数有意义,必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2sin x-1>0,,1-2cos x≥0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x>\f(1,2),,cos x≤\f(1,2).))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+2kπ<x<\f(5,6)π+2kπ,,\f(π,3)+2kπ≤x≤\f(5,3)π+2kπ,))k∈Z,
∴eq \f(π,3)+2kπ≤x<eq \f(5π,6)+2kπ(k∈Z).
故所求函数的定义域为
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,3),\f(5π,6)+2kπ))(k∈Z).
[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,3),\f(5π,6)+2kπ))(k∈Z)
1.求函数f(x)=eq \r(-sin x)+eq \r(tan x-1)的定义域.
解:函数f(x)有意义,则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-sin x≥0,,tan x-1≥0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x≤0,,tan x≥1.))
如图所示,结合三角函数线知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ+π≤x≤2kπ+2πk∈Z,,kπ+\f(π,4)≤x<kπ+\f(π,2)k∈Z.))
∴2kπ+eq \f(5π,4)≤x<2kπ+eq \f(3π,2)(k∈Z).
故f(x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(5π,4),2kπ+\f(3π,2)))(k∈Z).
[例2] 已知-eq \f(π,2)<x<0,sin x+cos x=eq \f(1,5).
(1)求sin x-cos x的值;
(2)求eq \f(sin xcos x+sin2x,1-tan x)的值.
[解] (1)将sin x+cos x=eq \f(1,5)两边平方,
得2sin xcos x=-eq \f(24,25),
∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=eq \f(49,25).
∵-eq \f(π,2)<x<0,∴sin x<0,cos x>0,
∴sin x-cos x<0.故sin x-cos x=-eq \f(7,5).
(2)eq \f(sin xcos x+sin2x,1-tan x)=eq \f(sin xsin x+cos x,1-\f(sin x,cos x))
=eq \f(sin xcos xsin x+cos x,cos x-sin x)=eq \f(-\f(12,25)×\f(1,5),\f(7,5))=-eq \f(12,175).
2.已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=eq \f(1,5).
(1)求tan α的值;
(2)把eq \f(1,cos2α-sin2α)用tan α表示出来,并求其值.
解:(1)由sin α+cos α=eq \f(1,5),
得1+