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7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
2.会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域,并知道三角函数在各象限内的符号.
直观想象
数学抽象
数学运算
知识点一 任意角的三角函数
在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是r(r=eq \r(x2+y2)>0).
{α|α≠kπ+eq \f(π,2),k∈Z}
三角函数
定义
定义域
名称
sin α
eq \f(y,r)
____
正弦
cos α
____
____
余弦
tan α
eq \f(y,x)
____________________
正切
R
eq \f(x,r)
R
知识点二 三角函数值在各象限的符号
1.若α是第二象限角,则点P(sin α,cos α)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:D
2.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α等于( )
A.eq \f(4,5)
B.eq \f(3,5)
C.-eq \f(3,5)
D.-eq \f(4,5)
3.sin eq \f(π,3)=__________,cos eq \f(3π,4)=__________.
答案:D
答案:eq \f(\r(3),2) -eq \f(\r(2),2)
[例1] (1)已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),则2sin α+cos α=__________.
1.已知角α的终边在直线上的问题时,常用的解题方法有以下两种:
法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值.
法二:第一步,取点,在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点不重合),
第二步,计算r:r=|OP|=eq \r(x2+y2),
第三步,求值:由sin α=eq \f(y,r),cos α=eq \f(x,r),tan α=eq \f(y,x)(x≠0)求值.
2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
1.已知角α的终边落在直线eq \r(3)x+y=0上,求sin α,cos α,tan α的值.
解:直线eq \r(3)x+y=0,即y=-eq \r(3)x,则直线通过第二和第四象限.
①在第二象限内取直线上的点(-1,eq \r(3)),
则r=eq \r(-12+\r(3)2)=2,
所以sin α=eq \f(\r(3),2),
cos α=-eq \f(1,2),
tan α=-eq \r(3).
②在第四象限内取直线上的点(1,-eq \r(3)),则r=eq \r(12+-\r(3)2)=2,
所以sin α=-eq \f(\r(3),2),
cos α=eq \f(1,2),
tan α=-eq \r(3).
[例2] 判断下列各式的符号.
(1)sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°;
(2)tan 191°-cos 191°;
(3)sin 2cos 3tan 4.
(2)∵191°角是第三象限角,
∴tan