7.2.2 单位圆与三角函数线课件-2024-2025学年高中数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.2.2　单位圆与三角函数线 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.理解单位圆的概念. 2.理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关的问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 单位圆 1.一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为　　　　　.  2.如果角α的终边与单位圆的交点为P,则点P坐标为　　　　　　　.  单位圆 (cos α,sin α) 名师点睛 1.当角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)时,由三角函数的定义知r=OP=1,此时sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).因此我们也可以用单位圆上点的坐标表示三角函数值. 2.单位圆中r=1. 过关自诊 1.若角α的终边与单位圆交点坐标为(- ),求sin α,cos α,tan α. 2.[沪教版教材例题]求角 的正弦、余弦和正弦值. 知识点2 　三角函数线 余弦线 正弦线 正切线 过关自诊 如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) C 解析 由三角函数线的定义知C正确. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　三角函数线的作法及应用 图1 图2 (2)[鄂教版教材习题改编]已知cos α= ,在单位圆中画出角α的终边. 解 如图所示,在x轴上取点( ,0),过该点作x轴的垂线交单位圆于点P1,P2,则射线OP1,OP2即为角α的终边. 规律方法　三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得出正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交角α的终边(α为第一或第四象限角)或角α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T,即可得到正切线 . 变式训练1(1)已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边(　　) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=-x上 B 解析 根据正弦线的定义知,|sin α|=1,所以sin α=±1,所以角α的终边在y轴上. (2)[鄂教版教材习题]已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终边(　　) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上 D (3)在单位圆中画出满足sin α= 的角α的终边,并求角α的取值集合. 探究点二　利用三角函数线比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小. 分析在单位圆中正确画出各角需要比较大小的三角函数线. b<a<c 规律方法　利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 (1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线. (2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向. 探究点三　利用三角函数线解不等式 【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合. 解 作直线y= ,交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图1中阴影部分)即为角α的终边的范围. 图1 图2 规律方法　利用三角函数线来解三角不等式的步骤 (1)作出取等号的角的终边. (2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围. (3)将图中的范围用不等式表示出来. 变式训练2求y=lg(1- cos x)的定义域. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A级 必备知识基础练 1.(多选题)[探究点一]下列说法正确的有(　 　) A.当角α的终边在x轴上时,角α的正切线是一个点 B.当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在 C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D.余弦线和正切线的始点都是原点 ABC 解析 根据三角函数的概念,ABC都是正确的,只有D不正确;因为余弦线的始点在原点,而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点处.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点二·2023湖南长沙高一单元测试]sin 4,cos 4,tan 4的大小关系是 (　　) A.sin 4<tan 4<cos 4 B.tan 4<sin 4<cos 4 C.cos 4<sin 4<tan 4 D.sin 4<cos 4<tan 4 D 则sin 4<cos 4<tan 4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 其中说法正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选题)[探究点二·2023江西宜春高一校考阶段练习]已知sin α>sin β,那么下列命题中成立的是(　　) A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β C.若α,β是第二象限角,则cos α>cos β D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点二]比较大小:tan 1　　　　　tan .(填“>”或“<”)  < 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点一]若角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等,且符号相异,则α的值为　　　　　.  解析 根据角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等,且符号相异可知 sin α=-cos α,即角α的终边为第二、四象限的角平分线,所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.[探究点一]作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.[探究点三·鄂教版教材习题]求满足不等式cos α≥ 的角α的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B级 关键能力提升练 10.如图,已知点A是单位圆与x轴的交点,角α的终边与单位圆的交点为P, PM⊥x轴于点M,过点A作单位圆的切线交角α的终边于点T,则角α的正弦线、余弦线、正切线分别是(　　) D 解析 由题图知,角α的正弦线、余弦线、正切线分别是 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2023安徽淮北一模]如图,在平面直角坐标系中, 分别是单位圆上的四段弧,点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若 sin α<cos α<tan α,则点P所在的圆弧是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2023辽宁高三专题练习]函数y=lg(2sin x-1)+ 的定义域 为　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.利用单位圆中的正弦线、余弦线解下列各题. (1)求满足不等式2cos x+1≤0的x的集合; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C级 学科素养创新练 解 由题知sin α=,cos α=-, 所以tan α==-. 解 设的终边交以原点为圆心的单位圆于点P,过点P作x轴的垂线,其垂足为点M,如图所示.在直角三角形OMP中,∠MOP=,由此可得|OM|=,|MP|=, 所以点P的坐标为(-,-). 于是,sin=-,cos=-,而tan=1. 如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,则可以直观地表示cos α:的方向与x轴的正方向相同时,表示cos α是正数,且cos α =　　　;的方向与x轴的正方向相反时,表示cos α是负数,且cos α =　　　.习惯上,称为角α的　　　　　　.类似地,如图中的可以直观地表示sin α,因此称为角α的　　　　　　.  || -|| 设角α的终边与直线x=1交于点T,与x轴交于点A,则可以直观地表示tan α,因此称为角α的　　　　　　.  A.正弦线,正切线 B.正弦线,正切线 C.正弦线,正切线 D.正弦线,正切线 【例1】 (1)[鄂教版教材例题]分别作出角和-的正弦线、余弦线和正切线. 解 如图1,设角的终边与单位圆相交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为点M,过点A(1,0)作圆的切线交OP的延长线于点T,则角的正弦线为,余弦线为,正切线为. 如图2,设角-的终边与单位圆相交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为点M,过点A(1,0)作圆的切线交OP的反向延长线于点T,则角-的正弦线为,余弦线为,正切线为. - - 解 已知角α的正弦值为,所以在y轴上取点(0,),过该点作x轴的平行线,交单位圆于P1,P2两点,则OP1,OP2是角α的终边,因而角α的取值集合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}. (1)cos和cos; 解 如图,在单位圆中作出角和角的余弦线. 因为||>||,且角和角的余弦均为负数, 所以cos>cos. (2)sin和tan. 解 如图,分别作出角的正弦线和正切线. 由图知,角的正弦线和正切线分别为, 因为||<||,且的正弦和正切均为正数, 所以tan>sin. 变式探究将本例中的条件改为“a=sin,b=cos,c=tan”,则a,b,c的大小顺序排列为　　　　　　　　.  解析 由的终边关于y轴对称,如图的三角函数线知,||=||<||,因为,所以||>||,所以cos<sin<tan, 所以b<a<c. (1)sin α≥; 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}. (2)cos α≤-. 解 作直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(图2中的阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}. 解 如图所示,因为1-cos x>0,所以cos x<, 所以2kπ+<x<2kπ+(k∈Z), 所以函数的定义域为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z). 2.(多选题)[探究点一·2023上海高一课时练习]设分别是角的正弦线、余弦线和正切线,则以下不等式正确的是(　　) A.sin <tan <cos B.cos <tan <sin C.cos <tan <0 D.tan <cos <0 解析 分别作角的正弦线、余弦线和正切线,如图, ∵sin=||>0,cos=-||<0,tan=-||<0, ∴sin >0>tan >cos . 故选BC. 解析 作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示,则sin 4=-||, cos 4=-||,tan 4=||, 4.[探究点一]有三个说法:①的正弦线相等;②的正切线相等;③的余弦线相等. 解析 根据三角函数线的定义可知,的正弦线相等,的正切线相等,的余弦线相反. 解析 因为1<,且都在第一象限,由它们的正切线知tan 1<tan. α=或α=. (1)70°;(2)-. 解 (1)如图,作70°的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M;延长线段OP,交直线x=1于T,则为70°角的正弦线,为70°角的余弦线,为70°角的正切线. (2)如图,作-的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,延长线段PO,交直线x=1于T,则为-的正弦线,为-的余弦线,为-的正切线. 解 由cos,cos(-)=,结合三角函数线可知当-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z时cos α≥. 所以角α的取值范围为{α|-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z}. A. B. C. D. A. B. C. D. 解析 因为π<3<π,作出单位圆如图所示. 正弦线是,余弦线是,又sin 3>0,cos 3<0,所以sin 3-cos 3>0. 因为||<||,即|sin 3|<|cos 3|,所以sin 3+cos 3<0. 故点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)在第四象限. [2kπ+,2kπ+)(k∈Z) 解析 要使原函数有意义,则有在单位圆中作出相应的三角函数线,则原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+)(k∈Z). 14.利用三角函数线比较sin,cos,tan的大小. 解 由图可知:cos<0,tan>0,sin>0.因为||<||,所以sin<tan,故cos<sin<tan. (2)求函数y=的定义域. 解 (1)由2cos x+1≤0得cos x≤-,在单位圆中,把角x顶点放在原点,其始边在x轴的正半轴上;在[0,2π]范围内余弦线为-的角度有,所以满足条件的角x的取值范围是{x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}. (2)函数y=的定义域满足1-2sin x≥0,即sin x≤,在直角坐标系单位圆中,把角x顶点放在原点,其始边在x轴的正半轴上;在[0,2π]范围内正弦线为的角度有,所以满足条件的角x的取值范围是{x|-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}. 16.设θ是第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小. 解 θ是第二象限角,即2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),故kπ+<kπ+(k∈Z).作出所在范围,如图所示. 当k=2n,n∈Z时,2nπ+<2nπ+(n∈Z),cos<sin<tan. 当k=2n+1,n∈Z时,2nπ+<2nπ+π(n∈Z)时,sin<cos<tan. $$