7.2.1 三角函数的定义-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 数学 学习目标 1.理解并掌握任意角的三角函数定义. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.能利用定义求解简单的三角函数值. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.任意角的正弦、余弦与正切的定义 由上可知,对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当α≠ (k∈Z)时,有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切,都称为 α的 . 三角函数 数学 思考:对于确定的角α,sin α,cos α,tan α会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗? 答案:根据相似三角形的知识,不会随点P在终边上的位置的改变而改变. 2.正弦、余弦与正切在各象限的符号 如图所示. 正弦: 象限正, 象限负; 余弦: 象限正, 象限负; 正切: 象限正, 象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 一二 三四 一四 二三 一三 二四 数学 拓展总结 (1)三角函数也是函数,是以角为自变量,以坐标的比值为函数值的函数;三角函数值只与角α的大小有关,即由角α的终边位置决定. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 三角函数的定义及应用 数学 数学 数学 方法总结 (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母的正、负进行辨别,若正、负未定,则需分类讨论. 数学 A.(-4,3) B.(3,-4) C.(4,-3) D.(-3,4) 解析:(1)由sin α,cos α的定义知x=-4,y=3,r=5时,满足题意.故选A. 答案:(1)A 数学 数学 数学 求:(1)点P的坐标; 数学 求:(2)∠AOQ的正弦、余弦. 数学 探究点二 [例2] 确定下列各值的符号. (1)tan 125°·sin 273°; 判定已知角的三角函数值的符号 解:(1)因为125°是第二象限角, 所以tan 125°<0, 因为273°是第四象限角, 所以sin 273°<0, 所以tan 125°·sin 273°>0. 数学 [例2] 确定下列各值的符号. 数学 [例2] 确定下列各值的符号. (3)tan 191°-cos 191°. 解:(3)因为191°为第三象限角, 所以tan 191°>0,cos 191°<0, 所以tan 191°-cos 191°>0. 数学 方法总结 已知α的大小,判断sin α,cos α,tan α的符号的步骤 (1)确定α所在的象限. (2)由α所在的象限确定sin α,cos α,tan α的符号. 数学 数学 探究点三 利用三角函数值的符号确定角所在的象限 [例3] (1)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ的终边一定位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:(1)由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.故选D. 数学 数学 方法总结 对于已知角的三角函数值的符号,确定角所在象限的问题,常依据三角函数的定义或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理. 数学 [针对训练] 如果点P(sin θcos θ,cos θ)位于第四象限,则角θ是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 数学 学海拾贝 易错辨析——利用任意角的三角函数的定义求值,忽略对参数的讨论而致错 [典例] 已知角α的终边上一点P(24k,7k)(k≠0),求sin α,cos α,tan α的值. 纠错:点P(24k,7k)中参数k只告诉了k≠0,而没有告诉k的符号,需分k>0与k<0讨论,而该解法错在默认k>0. 数学 数学 当堂检测 × 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积.(　　) 解析:(1)错误.sin α表示角α的正弦值,是一个“整体”. (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.(　　) 解析:(3)正确. (4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　　) 解析:(4)错误.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在. × √ × 数学 C 2.在△ABC中,若sin A·cos B·tan C<0,则△ABC是(　 　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形 解析:因为A,B,C是△ABC的内角, 所以sin A>0. 又因为sin A·cos B·tan C