第2章 §6 6.2 函数的极值（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版2019）

6．2　函数的极值 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点一　极值点与极值 预习教材，思考问题 1．从远处看大山，一个个山头此起彼伏，山峰与山谷彼此相邻，如果这样的美景在数学中可看作函数的图象，那么一个个山峰和山谷又称作什么呢？ [提示]　1.极大值和极小值． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 2．如图观察，函数y＝f(x)在d，e，f，g，h，i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 [提示]　2．以d，e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 3．已知f(x)＝x3，求f′(0)，x＝0是f(x)的极值点吗？f′(x0)＝0与x＝x0为f(x)的极值点有何关系？ [提示]　3．可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．　　　 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 1．极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的__________，其函数值 为函数的极大值． 2．极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都 点x0处的函数值，称点 为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值． 3．函数的极大值点与极小值点统称为 ， 统称为极值． 极大值点 f(x0) 大于 x0 极值点 极大值与极小值 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点二　求函数y＝f(x)的极值的步骤 预习教材，思考问题 1．极大值一定比极小值大吗？ [提示]　1.极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值．如图所示．f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)<f(d)． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 2．在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？ 3．函数的极值与单调性有什么联系？ [提示]　2．在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个． 3．极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性．　　　 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 求函数y＝f(x)的极值的步骤 (1)求出导数f′(x)． (2)解方程f′(x)＝0. (3)对于方程f′(x)＝0的每一个实数根x0，分析f′(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点： ①若f′(x)在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f′(x)在x0附近的符号为“左负右正”，则x0为极小值点； ③若f′(x)在x0附近的符号相同，则x0不是极值点． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　求函数的极值 例　求下列函数的极值： (1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1； [解]　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)， 解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 所以当x＝－2时，f(x)取极大值21； 当x＝1时，f(x)取极小值－6. x (－∞，－2) －2 (－2,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)f(x)＝x2－2ln x. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值． x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  返回导航