第2章 §6 6.1 函数的单调性（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版2019）

§6　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点一　函数的单调性与导数的关系 预习教材，思考问题 ①　　　　　②　　　　　　③ 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (1)试结合图象写出以上三个函数的单调区间． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)判断以上三个函数的导数在其单调区间上的正、负．　　　 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 1．一般地，导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间内，函数y＝f(x) ； (2)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间内，函数y＝f(x) ． 单调递增 单调递减 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 2．一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较 ，这时函数的图象就比较“ ”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较 “ ”． 陡峭 平缓 快 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点二　利用导数判断函数y＝f(x)的单调性的基本步骤 预习教材，思考问题 函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，则f′(x)>0是否一定成立？　　　 [提示]　不一定．如函数f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(x)>0不成立，因为当x＝0时，f′(0)＝0.　　　 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 利用导数判断函数y＝f(x)的单调性的基本步骤： 第一步，确定函数的 ； 第二步，求出导数f′(x)的 ； 第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 定义域 零点 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 一般地，上述步骤二和三可转化为直接解不等式f′(x)＞0(＜0)： 不等式 的解集在定义域内的部分即为函数y＝f(x)的单调递增区间； 不等式 的解集在定义域内的部分即为函数y＝f(x)的单调递减区间． f′(x)＞0 f′(x)＜0 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　原函数与导函数图象之间的关系 例　(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) B 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 [解析]　(1)在区间(－1,1)上，f′(x)＞0，因此函数y＝f(x)在区间(－1,1)上为增函数，易知四个选项都符合．在区间(－1,0)上，f′(x)单调递增，故y＝f(x)在区间(－1,0)上增加得越来越快，函数图象应为指数增长的模式；在区间(0,1)上，f′(x)单调递减，故y＝f(x)在区间(0,1)上增加得越来越慢，函数图象应为对数增长的模式． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 [解析]　(2)从函数y＝f(x)的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)＞0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)＞0.结合选项可知，只有D项满足． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法： (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析：由函数y＝f(x)的图象及