第2章 §3 导数的计算（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版2019）

§3　导数的计算 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点一　导函数的概念 预习教材，思考问题 1．已知函数f(x)＝x2，任取x0∈R，判断函数f(x)在x0处是否可导．如果可导，求出f′(x0)． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 2．上述问题1中f′(x0)与x0具有怎样的关系？ [提示]　2．f′(x0)是x0的函数． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 3．一般的，对于函数y＝f(x)，如果在其定义域R内的每一点x都可导，那么对定义域内的每一个值，都对应一个确定的导数f′(x)，此时，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数在x＝x0处的值f′(x0)与函数y＝f(x)在x＝x0处的导数相同吗？它们有什么区别与联系？ [提示]　3．不相同．(1)两者的区别：f′(x0)是一个具体的值，而f′(x)是由于函数y＝f(x)在其定义域R内每一点都存在导数而定义在R上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数． (2)两者的联系：y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．　　　 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点二　导数公式表 预习教材，思考问题 1．请同学们回顾一下，根据导数定义求导数的步骤有哪些？ 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 [解析]　f(x)＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，所以f′(1)＝－3. D 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　求简单函数的导函数的基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 A 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)求曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　1.曲线y＝f(x)在点P处的切线只有一条，但过点P求曲线y＝f(x)的切线时，点P不一定是切点，故应设出切点坐标，并求切点坐标，有几个切点就有几条切线． 2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　将例2(1)变为“求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程”． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 a(t)＝－sin t 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 例2　已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． [解]　由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　1.速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．导数的几何意义，即切线的斜率建立切点的横坐标与切线斜率之间的关系解决问题． 3．导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 C 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 课时作业 巩固提升