假期必刷23 空间向量与立体几何-【快乐假期】2023高二数学暑假衔接一轮大作业（新教材）

数学 假 23.空间向量与立体几何 必 刷 《思维整合案 ②两平面夹角的计算：设平面α，3的法向 SI wer zheng he shi 1.空间向量的坐标表示及其应用 量分别是n1,n2,平面a与平面3的夹角为0， a=(a,az,a3),b=(bb2b). 则cos0=|cos(n1,n2>| 向量表示 坐标表示 4.用空间向量求距离 数量积 a·b 共线 (1)点P到直线1的距离 a=b(b≠0，a∈R) 垂直 a·b=0(a≠0.b≠0】 设AP=a,u是直线I的单 模 a 位方向向量，则向量AP在 cos(a,b)= 直线！上的投影向量AQ= 夹角 (a,b》(a≠0，b≠0) a1b十a2h2十a3bs (a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得 √/a+a+a·√所+b+ PQ=/IAPI2-AQI3= 2.空间位置关系的向量表示 (2)点P到平面a的距离 位置关系 向量表示 若平面a的法向量为n,平面a 直线11，l2的方向向 4∥2 4∥2=41=2 内一点为A,则平面a外一点 量分别为出， 4⊥2 4⊥2台 P到平面a的距离d= 直线1的方向向量为 l∥a u⊥n台 ,平面a的法向量 A市·丹 ,如 为n 1⊥a u∥n台u=n 图所示 平面a,3的法向量分 a∥B m1∥n2台m1=2 (3)线面距离、面面距离都可以转化为点到平 别为n1, a⊥B n1Ln2台 面的距离. 3.用空间向量求空间角 【《技能提升台 11n11i101 (1)两条异面直线所成的角 1.如图，在正三棱柱ABC一 A 设异面直线1，l,所成的角为0，其方向向 ABC中，各棱长均为4，N 量分别为u,v, 是CC的中点。 则cos0=|cos(u,v〉|= (1)求点N到直线AB的 距离； (2)直线和平面所成的角 (2)求点C,到平面ABN的距离. 直线AB与平面a相交于B,设直线AB与 平面a所成的角为0，直线AB的方向向量 为u,平面a的法向量为n,则sin0= cos(u,n〉|= (3)平面与平面的夹角 ①两平面的夹角：平面α与平面3相交，形 成四个二面角，我们把这四个二面角中不 大于90°的二面角称为平面a与平面B的 夹角 46 三0002 2.如图，在四棱锥P一ABCD中， 5.(2022·北京卷)如图，在三 B. PA⊥平面ABCD,底面ABCD 棱柱ABC一ABC中，侧 是菱形，AB=2,∠BAD=60° 面BCC,B为正方形，平面 (1)求证：BD⊥平面PAC: 2 Ak---- BCC1B,⊥平面ABB,A1, (2)若PA=AB,求PB与AC AB=BC=2,M,N分别为 所成角的余弦值； A,B1,AC的中点. (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求 (I)求证：MN∥平面BCCB1: PA的长. (Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择 一个作为已知，求直线AB与平面BMN所 成角的正弦值， 条件①：AB⊥MN; 条件②：BM=MN; 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按 第一个解答计分. 3.(2022·新高考I卷)如图，直三棱4 柱ABC一ABC的体积为4， △ABC的面积为2√2. (1)求A到平面A,BC的距离： (2)设D为AC的中点，AA1=AB,平面 A,BC⊥平面ABBA,,求二面角 A一BD-C的正弦值. 6.如图，在三棱锥A一BCD 中，平面ABD⊥平面 BCD,AB=AD,O为BD B 的中点 (1)证明：OA⊥CD: (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点 E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC 4.如图，在四棱锥P一ABCD 一D的大小为45°，求三棱锥A一BCD的 中，底面ABCD为直角梯形， 体积. AB⊥BC,AB⊥AD,△PAD 为等腰直角三角形AP⊥PD, AD=6,BC=2,AB=4,平面PAD⊥平面 ABCD,E为CD的中点，PF=2DF (1)证明：EF/平面PAB: (2)求平面AEF与平面PCD夹角的余 弦值. 47三0022 13.解析：取AC的中点E,连接ED, 即n= (停-12 EB.:D为AC,的中点， 易知CN-(0,0,-2), △ABC是边长为23的正三角形， 设点C到平面ABN的距离为d:, ∴.DE=AA=3,BE=3,DE⊥AC, -4 BE⊥AC.∴∠BED为二面角A,-AC-B的平面角. 则d 45 3 在△BED中，DE=3,BE=3,BD=3√3， 2.解：(1)证明因为四边形ABCD是菱形，所以ACLBD. 由余孩定理得 又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD, cos∠BED=3+3-(332=-1 :PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BDL平面PAC 2X3×3 (2)解设AC∩BD=O,