专题04 抽象函数的基本题型与解法探究-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题 --- 抽象函数的基本题型与解法探究 【专题导航】 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．研究抽象函数需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.近几年高考也在重点考查，但部分老师引导学生复习重视不够，本专题系统归纳抽象函数相关的基本题型与解法探究，供同仁们教学参考，学生高考复习. 【抽象函数的知识体系】 一、抽象函数的单调性 性质1、 若函数y＝f(x)是单调递增的，则以下三个式子成立且等价： （1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)； （2）对任意x1，x2∈[a，b]且，都有>0； （3）对任意x1，x2∈[a，b]且，都有． 性质2、 若函数y＝f(x)是单调递减的，则以下三个式子成立且等价： （1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)； （2）对任意x1，x2∈[a，b]且，都有<0； （3）对任意x1，x2∈[a，b]且，都有． 二、抽象函数的对称性（内反表示对称性） 性质1、 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（自身对称），则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x)；（2）f(2a－x)＝f(x)；（3）f(2a＋x)＝f(－x) 推论：若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（自身对称），设 . 性质2、 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称（自身对称），则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)；（2）f(2a－x)＝－f(x)；（3）f(2a＋x)＝－f(－x) 推论： 的图象关于点对称 性质3、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称 推论、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论、函数与图象关于直线对称 推论、函数与 图象关于直线对称 推论、函数与图象关于直线对称 推论、函数与图象关于X轴对称 推论、互为反函数与函数图象关于直线对称 性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称 推论： 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 性质5、中心对称为（a,b)，则以下五类情况成立： ①点 ② ③ （即） ④ （即） ⑤ 的图象关于点对称 例如、; 性质6、若,即 、 、 三、抽象函数的奇偶性 1、奇偶函数：设，或者定义域关于原点对称 定义①若 定义②若。 易知y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为抽象函数的性质1（或2），当a＝0时的特例。 推论、 偶函数与图象关于Y轴对称 推论、奇函数与图象关于原点对称函数 推论、y=f(x+a)是偶函数⇔函数y=f(x)关于直线x=a对称; 推论、y=f(x+a)是奇函数⇔函数y=f(x)关于点(a,0)对称. 2、复合函数的奇偶性（内偶则偶，内奇同外） 定义、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。 定义、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。 说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。 （2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x) （3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称） 四、抽象函数的周期性（内同表示周期性） 1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期 2、 的周期为 3、 的周期为 4、 的周期为 5、 的周期为 6、 的周期为 7、 的周期为 8、 的周期为 9、 的周期为 10、若 11、有两条对称轴和 周期 推论：偶函数满足 周期 12、有两个对称中心和 周期 推论：奇函数满足 周期 13、有一条对称轴和一个对称中心的 14、分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的