第01练 空间向量及其运算（3种题型过关练+能力提升练+拓展练）-2023年【暑假分层作业】高二数学（苏教版2019选修2）

第01练 空间向量及其运算 1.空间向量基本概念 空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. 长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为或. 零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为. 单位向量：模为1的向量叫作单位向量. 相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量,叫作的相反向量,记为. 共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行. 相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量. 2.空间向量的线性运算 空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同. 3.共线、共面向量基本定理 （1）直线的方向向量：在直线上取非零向量,与向量平行的非零向量称为直线的方向向量. （2）共线向量基本定理： 对任意两个空间向量（）， 的充要条件是存在实数，使. （3）共面向量： 如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合,那么称向量平行于直线. 如果直线平行于平面或在平面内,那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量,叫作共面向量. （4）共面向量基本定理:如果两个向量 ,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使. 4.空间向量的数量积 （1）向量的夹角：已知两个非零向量,,在空间任取一点,作,则叫作向量,的夹角,记作.如果,那么向量互相垂直,记作. （2）数量积定义：已知两个非零向量,则叫作的数量积,记作. 即 . （3）数量积的性质： . （4）空间向量的数量积满足如下的运算律： (交换律): （分配律). 推论：， . （5）向量的投影向量： 向量在向量上的投影向量： 向量在平面内的投影向量与向量的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. <解题方法与技巧> 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 3.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解. 一．空间向量及其线性运算（共6小题） 1．（2023春•溧阳市月考）已知三棱锥O﹣ABC中，点M为OA的中点，点G为底面△ABC的重心，设，，，则向量＝（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•玄武区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，，则与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•金坛区校级月考）已知空间四边形OABC中，，，，点M在BC上，且MB＝2MC，N为OA中点，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•洪泽区校级月考）在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则＝（　　） A． B．.. C． D． 5．（2023春•盱眙县校级期中）已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 6．（2023春•宿城区校级月考）如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG＝2GE． （1）试用表示向量； （2）若OA＝4，OB＝6，OC＝8，∠AOC＝∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，求的值． 二．共线向量与共面向量（共9小题） 7．（2023春•邗江区期中）已知向量共面，则实数t的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 8．（2023春•溧阳市月考）若平面α，β的法向量分别为，，且α∥β，则x的值为（　　） A． B． C．10 D．﹣10 9．（2023春•连云区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组（x，y，z），使 C．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 D．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 10．（2023春•宿城区校级月考）已知空间向量＝（λ，2，1），＝（2，λ，λ+1），∥，则实数λ＝（　　） A．0 B