专题22 导数隐零点问题-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题22导数隐零点问题 知识梳理 方法技巧 题型归类 题型一：导函数中二次函数的隐零点问题 题型二：导函数中非二次函数的隐零点问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 解答题：共12题 一、【知识梳理】 【方法技巧】 1.在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 2.当分析导函数的正负性时，可归结为处理某个二次函数在给定区间内的零点问题，但二次函数零点的求解又很复杂，此时一般要借助于韦达定理或极值的特性来对零点“设而不求”. 3.当分析导函数的正负性时，需要归结为分析某个非二次函数的零点，我们处理问题的方法相对就比较有限，其常用的方法为：确定零点存在的前提下，虚设零点并借助该形式化零点进行单调性分析及后续处理，或借助其满足的恒等式(即导数值为0)，通过恒等代换将问题进行转化.　 4.零点问题求解三步曲 (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 二、【题型归类】 【题型一】导函数中二次函数的隐零点问题 【典例1】已知实数a满足a≥＋－2，且函数f(x)＝ln x＋－(a＋2)x恰有一个极小值m和极大值M，求m－M的最大值(其中e为自然对数的底数). 【典例2】已知函数f(x)＝x＋＋aln x，a∈R.若对任意的x∈[1，e]，都有≤f(x)≤2e恒成立，求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数). 【题型二】导函数中非二次函数的隐零点问题 【典例1】设函数f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间； (2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值. 【典例2】已知函数f(x)＝x2＋ln x－x(a≠0)． (1)当a＝时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)<1－2ax在x∈(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值. 【典例3】已知函数. (1)讨论函数零点的个数; (2)证明:. 三、【培优训练】 【训练一】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明不等式ex－2－ax>f(x)恒成立． 【训练二】已知函数f(x)＝aex－2x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝1时，求证：f(x)＋x2－x＋1>0. 【训练三】已知函数. (1)若的最大值是0,求的值; (2)若对其定义域内任意恒成立,求的取值范围. 【训练四】已知函数. (1)若函数在上单调递增,求的取值范围; (2)若,证明:当时,. 参考数据:. 【训练五】已知函数. (1)求曲线在处的切线方程; (2)当时,设函数,若是在上的一个极值点,求证:是在上的唯一极大值点,且. 【训练六】已知函数. 证明:存在唯一的极大值点,且. 四、【强化测试】 【解答题】 1. 已知函数f(x)＝＋＋1. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求实数a的取值范围． 2. 已知函数f(x)＝＋，若f(x)>在(0，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值. 3. 若x(ex－2)－(ln x－kx)≥1恒成立，求实数k的取值范围. 4. 已知函数的最小值为． (1)求的值； (2)已知,,在上恒成立,求的最大值．（参考数据：,） 5. 已知函数. （1）若,求的单调区间； （2）若对于任意的,恒成立,求的最小值. 6. 已知函数,其中,且. (1)当时,求的单调区间； (2)若只有一个零点,求的取值范围. 7. 已知函数有两个极值点,证明:. 8. 设函数. (1)讨论的导函数的零点个数; (2)证明:当时,. 9. 已知函数f(x)＝ax2－xln x＋(a∈R且a≠0)，若不等式f(x)≤0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围. 10. 证明：函数f(x