辽宁省大连市第二十四中学2023届高三第六次模拟考试数学试卷

2023年大连市第二十四中学高三年级第六次模拟考试 数学科试卷 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A． B． C．M D． 2．命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ） A． B．a≥0 C．a≥1 D．a<1 3．在斜三角形ABC中，，且，则角A的值为（ ） A． B． C． D． 4．若实数a，b满足，则（ ） A． B． C． D． 5．已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且．则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 6．已知数列共有100项，满足，且，则符合条件的不同数列有（ ）个． A．4753 B．4851 C．4937 D．4950 7．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球对应，应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于（ ） A． B． C. D． 8．已知函数，若函数恰有4个零点，则k的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知，i为虚数单位，且，复数，则以下结论正确的是（ ） A．z的虚部为-2i B．z的模为2 C．z的共轭复数为2i D．z对应的点在第四象限 10．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 11．在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ） A．面PAC B．三棱锥P-ABC的外接球直径 C．在圆锥侧面上，点A到DB的中点的最短距离必大于 D．记直线DO与过点P的平面所成的角为，当时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆 12．P为椭圆上的动点，过P作切线交圆于M，N过M，N作切线交于Q，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．Q的轨迹是 D．Q的轨迹是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是．如果某个家庭中先后生了三个小孩，当已知三个小孩中有女孩的条件下，则三个小孩中有男孩的概率为__________． 14．在的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为__________． 15．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是__________． 16．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆逐个外切，且均与曲线相切，若，则__________．__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题10分） 已知等差数列的前n项和为，其中，． （1）求数列的通项； （2）求数列的前n项和为． 18．（本小题12分） 在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，， （1）求B角的值； （2）求BC的取值范围． 19．（本小题12分） 如图，在三棱台中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，D为的中点． （1）证明：AC⊥BD； （2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 20．（本小题12分） 为纪念中国共产党成立102周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，我校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． （1）若，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率： （2）若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得7个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？ 21．（本小题12分） 在xOy平面上．设椭圆：，梯形ABCD的四个顶点均在上，且．设直线AB的方