江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题

2022-2023学年南京市中华中学高一下5月月考卷 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数（是虚数单位），的共轭复数记作，则（ ） A B. C. D. 2. 已知,则的值为( ) A. B. C. D. 3. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．直线与平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 7 7. 如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（ ） A. B. -1 C. D. +1 8. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则 10. 已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则是等腰直角三角形 C. 若，则直角三角形 D. 若，则是等边三角形 11. 如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点P，使面 B. 二面角的平面角为60° C. 的最小值是 D. P到平面的距离最大值是 12. 已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB.将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（ ） A. BC⊥AD B. 点E到平面AMC距离为 C. EM∥平面ACD D. 四面体ABCE的外接球表面积为5π 三、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________． 14. 已知中，三边为，，，则________． 15. 已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为________. 16. 如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将和分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为______度． 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 已知复数． （1）若z在复平面内对应点在第四象限，求m的取值范围； （2）若z是纯虚数，求m的值． 18. 等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为． （1）若为的中点，求． （2）求的取值范围． 19. 从下列条件中选择一个条件补充到题目中： ①，其中为的面积，②，③． 在中，角，，对应边分别为，，，_______________． （1）求角； （2）若为边的中点，，求的最大值． 20. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，G为中点，E点在上，平面平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角． 21. 借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC.现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. （1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； （2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积最大值. 22. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为棱上任意一点（不包括端点），为棱上任意一点（不包括端点），且． （1）证明：异面直线与所成角为定值． （2）已知，当三棱锥的体积取得最大值时，求与平面所成角的正弦值． 2022-2023学年南京市中华中学高一下5月月考卷 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【