天津市第四中学2022-2023学年高一下学期3月阶段性练习数学试卷

天津市河西区第四中学2022-2023学年高一下学期3月阶段性练习数学试卷 一.选择题（每道小题只有一个正确答案，每小题4分，共36分） 1．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（　　） A． B．或 C． D． 2．设，是非零向量，“＝||||”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设、是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是（　　） A．+和﹣ B．+2和+2 C．3﹣2和4﹣6 D．和+ 4．若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（　　） A．2 B． C．1 D． 5．已知点A（1，1），B（2，﹣1），向量，，则与的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D．2 7．已知非零向量与满足（+）•＝0，且•＝﹣，则△ABC为（　　） A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形 8．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则＝（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为（　　） A． B． C． D．6 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．已知点P满足，若P1（﹣1，2），P2（3，0），则点P的坐标为 　 　． 11．等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若＝+，则△ABC的面积为 　 　． 12．与向量反向的单位向量是　 　． 13．已知（+）•＝7，且||＝，||＝2，则与夹角为 　 　．​ 14．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若O为△ABC的外心，则的值为　 　． 15．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）．类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF＝2AF，点M为AB的中点，点P是△DEF内（含边界）一点，且，则λ的最大值为 　 　． 三、解答题（共34分） 16．（10分）已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）． （1）若，求实数m的值： （2）若，求实数m的值． 17．（12分）已知||＝，||＝1，与的夹角为45°． （1）求在方向上的投影； （2）求|+2|的值； （3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 18．（12分）在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝6，AD＝CD＝3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD． （1）求的值； （2）若N为线段AC上任意一点，求的取值范围． 天津市河西区第四中学2022-2023学年高一下学期3月阶段性练习数学参考答案 1．D．2．A．3．C．4．B．5．A．6．C．7．A．8．B．9．D． 10．（1，1）；11．．12．（﹣，﹣ ）．13．．14．815．2． 16．（1）∵， ， ∵，∴﹣3m＝﹣1﹣m，解得． （2）∵， ∵， ∴， 解得． 17．（1）在方向上的投影为||cos45°＝×＝1； （2）•＝||•||•cos45°＝×1×＝1， |+2|2＝2+4•+42＝2+4+4＝10， 则|+2|＝； （3）向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角， 可得（2﹣λ）•（λ﹣3）＞0，且（2﹣λ）与（λ﹣3）不共线， 即为2λ2+3λ2﹣（6+λ2）•＞0， 即有7λ﹣（6+λ2）＞0，解得1＜λ＜6， 由（2﹣λ）与（λ﹣3）共线，可得2•（﹣3）＝﹣λ•λ， 解得λ＝±， 则实数λ的取值范围为（1，）∪（，6）． 18．（1）以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），D（0，3），C（3，3）， 因为AB∥CD，AB＝6，CD＝3， 所以△ABO∽△CDO，所以， 所以点O（2，2）， 设M（m，0），则＝（m﹣2，﹣2），＝（﹣6，3）， 因为OM⊥BD，所以•＝﹣6（m﹣2）﹣6＝0，解得m＝1， 所以M（1，0），＝（1，0）， 所以＝﹣6． （2）由（1）知，＝（3，3）， 设＝λ＝（3λ，3λ），λ∈[0，1]，则＝（3λ﹣1，3λ）， 所以＝3λ（3λ﹣1）+3λ•3λ＝3λ（6λ﹣1）＝18（λ﹣）