基础夯实练20：导数与函数的极值、最值-2024届高三数学一轮复习备考

基础夯实练20 导数与函数的极值、最值 1．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点 B．f′(x)在x＝－1处取得极小值 C．f(x)在区间(－2,3)上单调递减 D．f(x)在x＝0处的切线斜率小于0 2．函数f(x)＝x－sin x在上的极小值为(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 3．已知x＝2是f(x)＝2ln x＋ax2－3x的极值点，则f(x)在上的最大值是(　　) A．2ln 3－ B．－ C．－2ln 3－ D．2ln 2－4 4．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于(　　) A．－1 B．－ C. D．1 5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D．(0,2) 6．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 7．(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________. 8．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶． 9．设函数f(x)＝aln x＋＋2a2x－4a，其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围． 10．(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝ex＋e－x－ax2－2. (1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数． 11．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 12．已知函数f(x)＝若a<b，且f(a)＝f(b)，则b－a的最小值为(　　) A．1 B. C．e－1 D．2 13.如图所示，已知直线y＝kx与曲线y＝f(x)相切于两点，函数g(x)＝kx＋m(m>0)，则对函数F(x)＝g(x)－f(x)描述正确的是(　　) A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点 C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点 14．设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为________． 参考答案 1．BCD　2.D　3.A　4.B 5．C　[由f(x)＝ax2－2x＋ln x(x>0)， 得f′(x)＝2ax－2＋＝(x>0)， 若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2， 则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根， 所以 解得0<a<.] 6．AC　[因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)＝3x2－1>0得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－<x<.所以f(x)＝x3－x＋1在，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点，故A正确； 因为f(x)的极小值f＝3－＋1＝1－>0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误； 因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确； 假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－1＝2，解得x0＝±1；若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．故选AC.] 7．sin x(答案不唯一)　8.80 9．解　(1)f′(x)＝－＋2a2 ＝ ＝，x>0， ∵a>0， ∴－<0<. ∴在上，f′(x)<0，f(x)单调递减； 在上，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上所述，f(x)在上单调递减，在上