2023年广西中考数学专题复习：二次函数与等腰直角三角形存在性问题

2023年广西中考数学专题复习： 二次函数与等腰直角三角形存在性问题 解题方法: 先直角，再等腰，先直角三角形讨论，分类讨论以每个顶点为直角顶点，也就是这个顶点的角是直角，用两线一圆讨论存在三种直角三角形存在，然后使两直角边相等，这就构成了等腰三角形三角形。 计算方法，一线三垂直全等模型。因为有直角，可以构造一线三等角模型，因为直角边相等，构成三角形全等，从边长相等，来确定点的坐标 例题 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接．设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 4．如图，在等腰直角三角形中，，点A在x轴上，点B在y轴上，点，二次函数的图象经过点C． (1)求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式； (2)把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式． (2)过点Р作垂直于交直线于点E，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点N的坐标，并选取一种情况证明；若不存在，请说明理由． 6．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与y轴交于C点． (1)求此二次函数解析式和点C的坐标； (2)动点P在二次函数图象上，且位于第一象限，过点P作垂直x轴于点H，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标． (3)如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E． (1)写出点A，点B的坐标； (2)直线上是否存在一点F，使得是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为4 (3)存在， 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）过点P作轴，垂足为H，利用，将四边形的面积转化为二次函数求最值，即可得出结果； （3）过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，，证明，进而求出点的坐标，代入解析式，进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点A，B， 则 ， 解得：； （2）由（1）得：抛物线表达式为， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由点P的运动可知：， 过点P作轴，垂足为H，如图， ∴，即， 又， ∴ ， ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ， ∴， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）存在．假设点M是线段上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，． ∵是等腰直角三角形，， ∴，