8.1.3向量数量积的坐标运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.1.3 向量数量积的坐标运算 第八章 复习引入 【问题1】平面向量数量积是如何定义的？ a · b = | a | | b | cos< a , b >. 【问题2】两个向量数量积有什么重要性质？ （1）如果e是单位向量 e · a = a · e = | a | cos<a , e>. （2）两个向量垂直的条件 a ⊥ b a · b = 0. （3）a · a = | a |2 或 | a | = = （4）cos<a , b> （5）| a · b | ≤ | a || b |. 复习引入 【问题3】平面向量数量积满足哪些运算律？ a · b = b · a ； (a + b) · c = a · c + b · c. ( a) · b = (a · b) = a ·( b) ； 【问题4】若a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，那么 a + b，a – b 和 a 是如何用坐标表示的？ a + b = (a1 + b1 , a2 + b2)； a - b = (a1 - b1 , a2 - b2)； a = ( a1 , a2). 【学习目标】 根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角; 运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直; 掌握平面内两点间的距离公式. 【学习重点】 向量数量积的坐标运算和度量公式; 向量垂直的坐标表示的充要条件. 【学习难点】 平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题. 新知探索 思考 向量的加法、减法和数乘运算都可以用坐标来表示，那么向量的数量积能否用坐标来表示呢？ 一、向量的坐标与向量的数量积 新知探索 O x y 为与轴、轴正方向相同的单位向量， ， 的坐标为 如下图： 新知探索 向量数量积的坐标表示： 设 则 . 新知探索 当 都是非零向量时，根据向量数量积的坐标运算，自己推算 和 . . . . 新知探索 向量夹角的坐标计算： O x y 如右图： 从向量的角度求两点距离公式： ， ， . 新知探索 典例精析 解： 例1 已知，求 ， ， ， . 典例精析 解： 例2 已知点,求的余弦值. ， ， ，， . 新知探索 二、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 思考 怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ 两个向量垂直的条件 a ⊥ b a · b = 0. 新知探索 反之呢？ 如果，则 已知两个非零向量 ， 如果 ，则 典例精析 解： 例3 已知点，求证： ， ， . 典例精析 O x y 解： 例4 如图所示，已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到,求点的坐标. 由题意知： ，， ，设点为，则， 解得或 由图可知，，所以 跟踪练习 1.若 则 与 夹角的余弦值为（ ） B ①若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． （ ） ②若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0. （ ） 2.判断 × × 跟踪练习 3.已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证△ABC是直角三角形. 所以△ABC是直角三角形. 证明： 跟踪练习 4.求与向量 的夹角为45o的单位向量. 解： 设所求向量为,由定义知： 又因为 由、可知： . 解得： 或 或.   课堂小结 1.数量积的坐标表示： 2.垂直的条件： 设两个非零向量,,则： . 设两个非零向量,,则： . 本课结束！ 已知，怎样用的坐标表示呢？ $