精品解析：上海市晋元高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

晋元中学2022学年第二学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 抛物线准线方程是_______ 2. 已知，则m=__________. 3. 若，且，则经过的直线的一般方程为_________ 4. 函数，其中，函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是_________ 5. 2名老师和6名学生站成一排，则2名老师恰好不相邻的排法数为_________ 6. 已知函数，满足，则它的导函数_________（请注明定义域）. 7. 6本不同的书全部分给5个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为_______ 8. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则_________ 9. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为_____． 10. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 11. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是________. 12. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了三种圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为_________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 14. 已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 设，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且的最小值为. 则下列说法正确的是（ ） A. 命题、命题都是真命题 B. 命题为真命题，命题是假命题 C. 命题为假命题，命题是真命题 D. 命题、命题都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知圆，直线 （1）求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设l与圆C交于A,B两点，若，求l的倾斜角 18 已知抛物线. （1）若上一点到其焦点距离为4，求的方程； （2）若，斜率为2的直线交于A、B两点，交轴的正半轴于点为坐标原点，，求点的坐标. 19. 某科学考察队在某地考察时，在距离点20千米处的西侧、东侧分别设立了站点、.现以为坐标系原点，的东侧为轴正方向，的北侧为轴正方向建立平面直角坐标系. （1）若考察发现一点满足(千米)，据此写出所在的曲线方程；若进一步观察到，在的北偏东方向处，求点的坐标； （2）若考察发现一点满足(千米).为进一步得到位置，该考察队在距离点15千米处的南侧、北侧分别设立了站点、，且(千米)，求的距离（精确到1米)和点相对于的方向(精确到). 20. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； （3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 21. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率为，证明：为定值； （3）过点作直线垂直于直线，在上任取一点，对于（2）中两点，试证明：直线的斜率成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋元中学2022学年第二学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 抛物线的准线方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因